优化算法题答案

【问题标题】：Optimization algorithm question优化算法题
【发布时间】：2011-03-29 23:35:10
【问题描述】：

对于那些有专业知识的人来说，这可能是一个简单的问题。但我自己无法弄清楚。

假设有大量对象需要从中选择一些。每个对象都有两个已知变量：成本和收益。我有一个预算，比如1000美元。在给定的预算范围内，我怎样才能知道我应该购买哪些物品以最大化总收益？我想要一个数字优化解决方案。谢谢！

【问题讨论】：

收益是货币的吗？或者你只是简单地以任意的“利益”单位来表达利益。如果只是“利益”，@Carl 就在钱上。如果收益是金钱上的，那么您会看到不同的情况，因为收益意味着您将改变您的余额，从而改变您可以负担的成本。
我没想到那么远。这会使问题变得更加复杂。

【解决方案1】：

您的问题称为“背包问题”。您可以在wikipedia page 上阅读更多信息。将您原始问题的命名法翻译成维基百科文章的命名法，您的问题的“成本”就是背包问题的“重量”。你的问题的“好处”就是背包问题的“价值”。

找到一个精确的解决方案是一个 NP 完全问题，因此，如果您有很多对象可供选择，请为缓慢的结果做好准备！

【讨论】：

谢谢！背包问题正是我最初的问题。但我的“真正问题”比这个标准问题要复杂一些。我读到了背包问题的解决方案（动态编程解决方案？），觉得它可能无法解决我的“真正问题”。我将我的真正问题描述如下。希望你能给我一些关于如何解决它的建议。
假设每个项目的“价值”不是常数。所选项目的总“值”是所选项目的两个变量 (x, y) 的函数：Sum(x_i)/Sum(y_i)。考虑到总重量的限制，如何选择物品以获得最高价值？对这个问题有什么建议吗？

【解决方案2】：

您还可以查看Linear Programming。来自数学世界：

简单地说，线性规划是基于结果的优化在一组约束上使用线性数学模型。

【讨论】：

【解决方案3】：

是的，如前所述，这是背包问题，我会选择使用线性规划。

这个问题的关键是存储数据，这样您就不需要多次重新计算（如果有足够的内存可用）。线性规划有两种通用方法：自顶向下和自底向上。这是一个自下而上的问题。

（通常）查找基本案例值，对于小案例，选择什么是最佳对象。然后以此为基础。如果我们允许自己花更多的钱，那么对于那一点点的钱来说，最好的对象组合是什么。可能性可能是拿走更多你以前拥有的东西，拿一个新的对象并替换旧的，再拿一个仍然会让你保持在预算之内的小对象等等。

就像我说的，主要思想是不重新计算值。如果你遵循这个模式，你会得到一个很高的数字，并发现为了购买价值 X 美元的商品，最好的解决方案是将你拥有的两个较小的箱子组合起来。

【讨论】：