“停机问题”矛盾证明

Question

我最近遇到了停止问题矛盾证明。 在证明中，我们必须向图灵机提供程序的副本和输入的副本，以决定该程序是否在输入时停止。在矛盾中，为什么一定要程序作为程序和输入？对不起，如果这听起来令人困惑。我可以简单地给机器输入一个程序和一个随机输入并得出相同的结论。

谁能告诉我为什么？有没有我没有想到的具体原因？

Answer 1

首先让我回到证明本身。

HALT_TM 无法确定

假设任何机器都有一个字符串形式的描述。让HALT_TM = {<M, w>| M is a TM and M halts on input w} 和A_TM = {<M,w>| M is a TM and accepts w}。在这里，我假设我们知道A_TM 是不可判定的（证明可以通过对角化来完成，并意识到由于语言比图灵机多，并且给定的 TM 仅决定一种语言，因此某些语言未决定）。

通过矛盾假设HALT_TM 是可判定的，这意味着我们为这种语言处理了判定器D。然后我们将能够构建一台机器M，它决定A_TM。在输入<M', w> 时，M 执行以下操作：

• 在输入 <M',w> 上运行 D
• 如果D 拒绝，则拒绝，否则在w 上运行M'（直到它停止，我们知道这是因为D 没有拒绝！）
• 如果M' 接受，则接受，如果拒绝，则拒绝。

我们看到了与我们的假设的矛盾

通用图灵机

现在您的问题的核心：您实际上提供了M 任何有效的机器描述M'，不一定是<M> 本身。请记住，TM 和“程序”实际上是等价的：有关更多详细信息，请参阅这个不错的 answer。引用相同的答案：“图灵机是算法的形式模拟”。 图灵机的一个强大之处在于它们可以被编码为字符串，允许另一个图灵机（称为“Universal Turing Machine”）执行它们。因为给定的机器是一种算法，您会看到您实际上是在为您的“顶级” TM 提供一个程序和您选择的输入。