浮点算术不稳定[关闭]答案

【问题标题】：Floating point arithmetic unstability [closed]浮点算术不稳定[关闭]
【发布时间】：2017-10-11 22:04:34
【问题描述】：

对于像 f(x) = sqrt(1+x) - sqrt(1-x) 这样的函数，我们会在 x 值的某个范围内得到不需要的结果。但是，我们可以分段重写方程，在某些情况下使用原始方程，在其他情况下使用新方程。

如何确定 x 值的范围并为此类问题找到替代表达式？（通过在线研究，我发现您不希望函数本质上“取消”某些值，但这就是我们正在寻找的全部吗？例如，在 f(x) = e^x - 1 中，我们是总是四处寻找 f(x) = 0？）

【问题讨论】：

这个问题写的太宽泛了。你能说得更具体点吗？
您能否提供一个 x 的值范围，其中 f(x) = sqrt(1+x) - sqrt(1-x) 在使用浮点算术进行评估时给出的结果很差？为这些 x 值提供 f(x) 的替代表达式，以便不会发生“取消错误”。
@Brainpower2049：小x 有问题。例如，f(1e-16) 给出1.1102230246251565e-16，而f(1e-17) 给出0.0。在数学上但在数值上不等价的表达式是2*x / (sqrt(1+x) + sqrt(1-x))。这在整个域 [-1.0, 1.0] 上给出了很好的数值结果。
请注意，在双精度中，1.0+1e-17 == 1.0 -1e-17 == 1.0
1+x 或 1-x 将下降到 1 为 x 由于有限的数字表示低于某个值，破坏你的微积分。知道x 有问题的范围，我会选择泰勒级数。在你的情况下，x=0 就像 this question。请注意，当成员对结果没有影响时，您会停止添加成员，即没有达到更高的精度。

【解决方案1】：

不幸的是，这里没有金子弹：通常的方法是大量的实验和挑剔的错误分析。一些有用的工具：

任意精度算术库，例如 MPFR，使用更高精度计算表达式并将结果与正常精度进行比较。我喜欢为此使用 Julia，因为它提供了一个支持通用数学运算符和函数的 BigFloat 类型。
区间算术：提供有保证的误差范围（因此不稳定的计算会崩溃）。我个人体验过的唯一软件包是ValidatedNumerics.jl（请参阅examples）。
herbie 使用一些花哨的技巧来自动重写数字表达式以使其更稳定。我没有个人经验，但它看起来确实很酷。（巧合的是，他们主页上的示例与您的非常接近）

【讨论】：

我认为 herbie 需要更复杂（或更少错误）才能有用。输入 OP 的表达式给了我1/8 x^3/ + (7/128 x^5 + x)，没有任何迹象表明这个表达式可能在哪个领域有用。
这很奇怪：我刚刚试用了这个小网络应用程序，它给出了您在问题中建议的答案：(x+x) / (sqrt(1+x) + sqrt(1-x))。
嗯，这是奇怪。我仍然得到与以前相同的结果（泰勒级数展开约为 0）。不过，看起来算法有一些随机输入；也许这可以解释它。