找到n个数字序列的最长双单调递增子序列的最佳算法是什么？答案

【问题标题】：What is the best algorithm to find the longest double monotonically increasing sub-sequence of a sequence of n numbers?找到n个数字序列的最长双单调递增子序列的最佳算法是什么？
【发布时间】：2014-10-14 05:25:41
【问题描述】：

我看过一些关于最长单调递增子序列算法的讨论。但我的情况有点不同。

双递增子序列定义如下：子序列的第一部分和第二部分都是单调递增的子序列。

例如：

序列 10,19,8,12 是；

序列10,19,28,33是；

序列10,19,28,28是；

序列 10,19,8,2 不是；序列 10,19,8,8 不是

另一个满足条件的序列是：

1,3,5,7,9,10, 6,9,11,17,28,30;

所以第一部分 1,3,5,7,9,10 是严格单调递增的；第二部分 6,9,11,17,28,30 也是如此。原始序列可能类似于：

1,99,3,98,5,97,7,96, 9,95,10,6,89,9,88,11,87, 17,86,28,85,30

我们能找到一个 little-o(n^2)-time 算法吗？

【问题讨论】：

如何 10,19,28,28 “是”，而 10,19,8,8 “不是”？
(@user1990169: 10,19,8,8 “不是”（双倍）严格增加。）（哎呀 - 因为子序列不一定连续而下降。再次。）
（“原始序列”示例中的第一个“bold 子序列”不是最大的（可以包括 94 - 7 到 9 可以很好地分隔两个递增的子序列）） - > 除了严格递增之外，对组成子序列的原始序列的元素是否有限制（可能两者都没有元素）？ 2、1、4、3、6、5、8、7呢？ 1,2,3,3,3,3,3,3,4,5?
@greybeard 抱歉我又修改了。而且我相信 user2040251 提供了一个有价值的解决方案。谢谢！

标签： algorithm math data-structures computer-science

【解决方案1】：

是的，甚至可以得到 O(n log n) 的解。假设我们已经计算了每个 i 从 i 到左侧（包括）某处结束的最长递增子序列的长度，以及从 i 到右侧（不包括 i）的反向数组中最长递减子序列的长度.那么答案是所有 i 的这两个值的最大和。它可以在 O(n log n) 时间内完成，因为您所要做的就是运行标准算法来计算两次最长的递增/递减子序列，然后进行几次线性传递。

【讨论】：

好主意！但我还是有些困惑。我同意增加/减少两个计算需要 O(nlogn)，那么你仍然不知道正确的点 i 在哪里。因此，您需要将 i 从 1 循环到 n 以找到最好的。因此 T~O(n^2 logn)。我说的对吗？
@ValarMorghulis 您首先在O(n log n) 中进行这两个计算，然后从 1 循环到 n（它们没有嵌套）。所以它是O(n log n) + O(n) = O(n log n)，而不是O(n log n) * O(n)。
非常感谢！我想通了！