指数 Big-O 等价性

Question

我这几天一直在尝试解决一个问题。我在网上四处寻找帮助，我发现的唯一答案与我的结论相反。

问题来了：

   **3^n = 2^(O(n))   True or False?**

结论是“真”，正确答案是：

3^n = 2^(O(n)) since 3^n = 2^(n*log_2(3)) = 2^(O(n))

问题是我不知道答案是如何确定的。一步一步的过程对我来说是最好的解释。换句话说，3^n = 2^n 是如何转换为对数的，我们如何确定常数和 n >= k 的起点？

编辑： 在这个有根据的猜测中，也许更容易解释 2 和 3 的来源。解决方案有一个 3 和两个 2。

If f(n) = 3^n and g(n) = 2^n 

The 3 in 2^(n*log_2(3)) must be coming from f(n)?
The 2 in 2^(n*log_2(3)) must be coming from g(n)'s base?
----> Is the log_2 a constant?? 

换句话说，如果问题是

7^n  = 4^(O(n)) ? 

正确答案是

4^(n*log_2(7))

How is k determined, where all n >= k?

提前致谢！！！

Answer 1

教授说得对。他们的逻辑如下： 3^n = (2^log_2(3))^n = 2^(n*log_2(3)) = 2^O(n)

log_2(3) = z 表示“2 的 z 次方给我 3”，我们将 2 提高到这个指数，所以我们得到 3^n。

基本上，他们表明，通过将2^x 中的指数乘以一个常数，您可以将底数更改为 3。Big O 会丢弃常数，因此底数是 2 还是 3 并不重要。

编辑：

If f(n) = 3^n and g(n) = 2^n 

The 3 in 2^(n*log_2(3)) must be coming from f(n)?
The 2 in 2^(n*log_2(3)) must be coming from g(n)'s base?
----> Is the log_2 a constant?? 

我不确定你想在这里问什么。 log_2 的常数是常数。

4^(n*log_2(7))

Where k = 7, and n >= 7 and 2 is the constant 'c'?

您的“答案”应该是7^n = 4^O(n)。你的显示方式是7^n = 4^(n*log_4(7)) = 4^O(n)，就像4^log_4(7) = 7。