归纳总结大 O 证明

Question

我一直在努力解决这个问题：

Σ(k=0,n)3k = O(3n)

我一直在网上查看各种东西，但我似乎仍然无法解决它。我知道它涉及到 Big O 的正式定义，其中

|f(x)| <= C*|g(x)|, x>=k

由于它们相同，我假设 C 是我必须通过归纳找到的某个值，以证明原始陈述，并且 k=0。

感谢您对此的帮助。

Answer 1

Σ(k=0,n)3^k = 3⁰ + 3¹ + ... + 3ⁿ = (1 - 3ⁿ⁺¹) / (1 - 3) ;几何级数之和 = (3/2)*3ⁿ - k n ;对于 c >= 3/2 = O(3ⁿ)

Answer 2

这里不需要归纳；该总和是一个几何级数并且具有闭式解

= 1(1-3^(n + 1))/(1-3) = (3^(n + 1) - 1)/2


= (3*3^n - 1)/2

Pick C = 3/2 and F = 3/2*3^n - 1/2, G = 3^n, 这样就满足了O(3^n)的要求，但实际上在实践中，虽然可能会被认为是非正式和草率的，但您不必太担心确切的常数，因为任何常数都可以满足 Big-O。

Answer 3

您可以将其重写为 3ⁿ * ( 1 + 1/3 + 1/9 + ....1/3ⁿ)。

这个总和有一个上限。计算那个无限级数的极限。

从那里，很容易得到一个好的 C，例如：2。