大 O 符号的帮助答案

【问题标题】：Help with big O notation大 O 符号的帮助
【发布时间】：2010-07-27 19:24:55
【问题描述】：

我在试图掌握大 O 符号的概念时遇到了一些问题。所以，根据定义，大 O 如下，T(n) ∈ O(G(n)) if T(n) <= G(n) * C。

既然常数“C”可以是任何大于 0 的整数，那么下面这个例子不也是正确的吗？

例子：

n log n ∈ O(log n)
n log n <= log n * c

其中 C 等于 n 的值。

我知道答案是 n log n ∉ O(log n)，但我不明白为什么 C 可以是任何常数。

提前感谢您的帮助：D

【问题讨论】：

【解决方案1】：

c 就是这样，一个常量。这意味着你不能说“让 c 是 n 的值”，因为你必须先选择一些 c，然后让比较对所有 n 都成立。

换句话说，为了使某个 T(n) 为 O(G(n))，必须存在 no 常数 c 使得 G(n)*c 大于 T (n) 对于所有 n。

因此 n log n 不是 O(log n)，因为无论您选择什么常数，n > c 都会导致 n log n 大于 c log n。

【讨论】：

【解决方案2】：

让我重复你的话。

c 可以是任何常量。

这意味着c不能依赖n。

【讨论】：

【解决方案3】：

这个想法是不等式适用于任何 n 和一个固定 c。因此，虽然您可能会找到某个 c 使得 n log n n），但您可以轻松找到它不存在的其他 n'（即 n'>c）。

【讨论】：

【解决方案4】：

首先，如果 n=C 则 C 不是常数。而且在大多数现实世界的算法中，C 很小，因此对于 n 的典型值，大 O 部分通常占主导地位。

但是大 O 复杂度与算法的效率有关，对于大 n，尤其是当 n 接近无穷大时。换句话说，它告诉您算法的可扩展性：给定算法处理非常大或加倍的工作负载的能力。

如果您知道 n 总是很小，那么大 O 复杂度就不是那么重要了，您应该专注于算法所需的挂钟时间。此外，如果您在具有相同大 O 复杂度（例如 O(n log n)）的两种算法之间进行选择，通常一种优于另一种（例如，随机枢轴快速排序通常优于二进制堆排序）。

【讨论】：

“在大多数现实世界的算法中，c 很小，因此对于 n 的典型值，大 O 部分通常占主导地位”：这是令人困惑的一个 c - 用于确定某个算法的常数O(something) - 使用完全不同的 c，即程序运行时的常数因子（即 runtime=3X+c）。这些不一样。
OP 使用“C”作为乘法因子，而不是常数相加项。我只是使用相同的语言（对不起小写的“c”）。
我不是这个意思。而且，实际上，在原始问题中使用了小写的“c”。仔细阅读我选择的句子，您会发现它不能指代 OP 帖子中的任意乘法常数 - 因为 OP 的“c”是一个选择的反例，而不是“现实世界算法”的一个因素。 “c 在大多数现实世界的算法中都很小”是指运行时系数。
@Borealid：不，我仍然不明白你为什么要说一个加法“+c”。
如果一个算法对 n 个元素执行 n+k 操作，它是 O(n)。你证明它是 O(n) 的方法是说“不存在 X 使得所有 n 的 Xn > j*(n+k)”。当您说“在大多数现实世界的算法中，C 很小”时，您*必须引用的变量是现实世界运行时间的常数因子（上面的k）。它不能是存在变量（上面的X）也不是存在常数（j），因为“真实世界的算法”不存在这些。但是你说“如果 n=C 那么 C 不是常数”。因此，在你的前两句话的某个地方，你会感到困惑。

【解决方案5】：

在定义中，您应该仅通过 T 和 G 本身来确定 C。这就是常数 C 的含义。所以 C 不应该依赖于它们的输入。所以你可以不考虑C = n

【讨论】：

【解决方案6】：

在表达式 n log n 中，您无法将外部 n 与 C 进行比较，就像您正在做的那样。这就像采用代数表达式 x(x+1) 并将其中一个 x 替换为常数。

在 n log n 中，n 是一个变量。在大 O 表达式中，C 是一个常数。

【讨论】：

【解决方案7】：

n 的值取决于输入集，C 的值是固定的。

所以是的，如果 n = 16 和 C = 256，对于一个小的输入集，它看起来像 n^2 * lg(n)。现在将输入集增加到 100,000,000； C 的值保持在 256，你现在有 256 * lg (100,000,000)

【讨论】：

【解决方案8】：

每当我遇到大问题时，我发现将其视为一场比赛很有用：我选择一个大哦函数（所以，在你的情况下，logn）和一个常数（c）。重要的是我必须选择一个真正的价值。我通常选择一千，只是因为。然后我必须让我的宿敌选择他选择的任何一个。他通常选择十亿。

然后我进行比较。

为了结束这个例子，现在 10^9*(log(10^9)) 显然比 1000log(10^9) 大得多。因此，我知道 big-oh 是行不通的。

【讨论】：