查找以下 while 循环的 theta 表示法答案

【问题标题】：Find theta notation of the following while loop查找以下 while 循环的 theta 表示法
【发布时间】：2012-03-04 16:46:33
【问题描述】：

我有作业问题：

找到语句 x = x + 1 执行次数的 theta 表示法。（10 分）。

i = n
while (i >= 1)
{
   for j = 1 to n
   {
      x = x + 1
   }
   i = i/2
}

这就是我所做的：

好的，首先让我们让它变得更容易。我们将首先找到以下的增长顺序：

while (i >= 1)
{
   x = x + 1
   i = i/2
}

具有增长顺序 O(log(n)) 实际上是对数基数 2

另一个内部for循环将执行n次因此算法应该是有序的：

O(log(n)*n)

我感到困惑的部分是我应该找到 theta 符号而不是 big-O。我知道 theta 表示法假设将函数限制在上限和下限。正确答案会是Theta(log(n)*n)吗？

我在link 中找到了答案，但我不知道你是如何得到这个答案的。为什么他们声称答案是 Theta(n)？

【问题讨论】：

我现在很想吃乌龟，要是我能抓到一只就好了。
应该是theta(log(n)*n)
我也这么认为，所以链接answers.yahoo.com/question/index?qid=20100203122230AAP41TQ是错误的吗？
(a) 区分大 O 表示法和大 O 表示法。在 theta 符号中找到以下函数的时间复杂度： (i) f(n) : n^3 + 2^1000 (ii) f(n) :n^4+!n+100 (iii) f(n) :n^3+ n^2log n+log4^ n+ 20 (iv) f(n) : 2^n + !n log n + log(log(log(n))) + 100 :D

【解决方案1】：

你现在应该证明它也是Omega(nlogn)。

我不会确切地展示如何，因为它是家庭作业 - 但它与您展示的相同原理 O(nlogn)。您需要表明 [非正式解释：] 该函数的渐近行为 的增长至少与nlogn 一样快。 [对于大 O，您表明它最多以 nlogn 的速度增长]。

请记住，如果一个函数同时是 O(nlogn) 和 Omega(nlogn)，则它是 Theta(nlogn) [反之亦然]

p.s.你的预感是真的，很容易证明它不是Omega(n)，因此也不是Theta(n)

附言。 2：我认为另一个答案的作者与不同的程序混淆了：

i = n
while (i >= 1)
{
   for j = 1 to i //NOTE: i instead of N here!
   {
      x = x + 1
   }
   i = i/2
}

上面的程序确实是Theta(n)，但是和你提供的不一样。

【讨论】：

我应该删除作业标签大声笑。感谢您的帮助！
所以换句话说我错过了右下角的另一个渐近线？那就是你所说的欧米茄。所以我可以选择一个增长非常缓慢并且在技术上是正确的函数？无论如何，假设我找到了 Omega(nlogn)。那么我的最终答案必须包括 big-O 和 Omega？
@TonoNam：如果你证明你的算法的复杂度下界是Omega(f(n))，并且它的复杂度上限是O(f(n))，那么它的复杂度是Theta(f(n))。 [反之亦然]。当然f(n)=nlogn也是正确的，所以如果你证明Omega(nlogn)和O(nlogn)，你实际上证明了Theta(nlogn)
@TonoNam：另外看看我的第二次编辑，我想我知道为什么另一个问题的回答者声称它是Theta(n)，他可能与不同的类似算法混淆了。
感谢您指出这一点。这就是为什么它没有意义。无论如何，我会根据您的解释发布答案。看看它。非常感谢您的帮助！

【解决方案2】：

以更正式的方式重新表述您的代码片段，以便可以使用 Sigma 表示法轻松表示：

for (i = n; i >= 1; i = i/2 ) {
    for j = 1; j <= n; j ++) {
        x = x + 1; // instruction of cost 'c'
    }
}

我们得到：

【讨论】：

【解决方案3】：

正如@amit 提到的，我已经有了函数的上限，那就是 Big-O，它实际上是 O(n*lgn)。如果我绘制该函数的表格，我会得到类似的东西：

n   n*lng
1   0
2   2
3   4.754887502
4   8
5   11.60964047
6   15.509775
7   19.65148445
8   24
9   28.52932501
10  33.21928095

因为那是大 O，所以这意味着真正的函数将受这些值的限制。换句话说，实际值应小于表中的值。例如，当n=9 我们通过查看表格知道答案应该小于或等于28.52932501 时，为实例取一个点

所以现在我们找不到欧米茄了，那是另一个界限。我认为下界函数应该是Omega(n) 然后我们会得到表格

n   Omega(n)
1    1
2    2
3    3
4    4
5    5
6    6
7    7
8    8
9    9
.......

所以这将是另一个界限。如果我们再次以 n = 9 的位置为例，那么它会给我们 9。这意味着我们的真实函数应该给我们一个大于或等于 9 的值。基于我们的 big-O 函数，我们也知道它应该是小于或等于28.52932501

【讨论】：