CFG 和闭包属性

Question

我正在解决一个问题，我迫切需要一个提示来解决一个问题：

在 union 下使用闭包表明以下语言是上下文无关的：

{a^m bⁿ c^p d^q : n=q 或 m

Answer 1

由于您没有具体说明您的问题是什么，我将仅介绍您需要了解的内容。

在工会下关闭 - 这是什么意思？
如果我们有一种语言 L 和一种语言 S 并且两者都是上下文无关的，我们知道语言的联合也是上下文无关的。

L ∪ S = 上下文无关语言

有关 CFL 的更多闭包属性，请参阅 this，如果您有兴趣，可以在网上找到这方面的证明（或者您可以尝试制作自己的证明）。

如何使用它来解决您的问题？
你有这个语言规范（我们称之为L）：

L = {a^m bⁿ c^p d^q : n=q 或 m

您可以将此语言拆分为其他 3 种语言：

A = {a^m bⁿ c^p d^q : n = q }
B = {a^m bⁿ c^p d^q : m C = {a^m bⁿ c^p d^q : m+n = p+q }

很容易看出A ∪ B ∪ C = L。

如果您可以证明 A、B 和 C 是上下文无关的，那么您可以得出结论 L 也是上下文无关的。

解决方案
要确定一种语言是否是上下文无关的，请参阅this answer。引用答案：

首先，您应该尝试构建一个构成主题语言的context-free grammar。如果所有产生式的左侧恰好包含一个非终结符，则文法是上下文无关的。根据定义，如果存在，则该语言是上下文无关的。

等效的构造是pushdown automaton。它与 DFA 相同，但有可用的堆栈。它可能比语法更容易构建。

因此，如果您可以为每种语言 A、B 和 C 构建一个 CFG（或 PDA），那么您的问题就解决了。

让我们以语言A： 我们需要一个生成a..b..c..d.. 形式的字符串的语法，其中bs 和ds 的数量必须相等。

S -> AE
A -> Aa  | ε
E -> bEd | C
C -> Cc  | ε

S 是起始变量（或非终端），ε 是空字符串（有些人使用空符号^，但我一直被告知使用ε）。该语法应该能够生成语言A，因此A 是上下文无关的。 （如果有人检测到错误，请告诉我。我有一段时间没有创建 CFG）。

由于这是一个练习，我会让你解决剩下的部分，但你应该知道如何去做。