python zlib - 压缩字符串的大小与香农熵

Question

我试图更好地了解压缩算法（例如 zlib）的输出与理论预期的对比情况。所以我有几个问题。

(1) 首先我想检查一下我是否正确计算了压缩率。假设我要压缩一个包含 1000 个的数组，我可以执行以下操作

# encode the array such that len(s) == 1000 bytes
s = np.ones(1000, dtype='uint8').tostring()

# compress using the python zlib (deflate)
comp_s = zlib.compress(s, 9) 
# giving comp_s = 'x\xdacd\x1c\x05\xa3`\x14\x0cw\x00\x00\xa7e\x03\xe9'

comp_ratio = len(comp_s)/len(s)
# giving 17/1000

因此我的第一个问题是：comp_s 的编码是否使其长度对应于字节数？我不太清楚这个字符串是如何编码的。如果我这样做 sys.getsizeof(comp_s) 我发现它的大小是 54 字节而不是 17 字节？由于getsizeof 返回python 对象的大小，所以它肯定高估了字符串的大小，假设sys.getsizeof(s) - sys.getsizeof('') 是正确的方法，我是否正确？它似乎至少产生与len() 相同的结果。

(2) 压缩序列的大小应该大于（或等于）它的香农熵。对于以 50:50 的概率出现的 1 和 0 的随机二进制序列，每个数字的信息数为 1 位（根据定义 h = - p log p - (1-p)log(1-p)）。由于真正的随机序列是不可压缩的，如果我生成一个长度为 n 的随机二进制序列，我希望通过添加一个随机数字，得到的 n+1 长序列在压缩后平均会大 1 位。

当我执行以下操作时

rawsize = range(1, 100000, 1000)
compsize = []
for l in rawsize:
    s = np.random.randint(0, 2, l, dtype='uint8').tostring() 
    comp_s = zlib.compress(s, 9)
    # note: I compress again to achieve better compression when l is large
    comp_s = zlib.compress(comp_s, 9)
    compsize.append(len(comp_s))

如果我绘制compsize / rawsize，我发现曲线接近0.155 附近的一个常数值，这意味着（如果我解释正确的话）通过添加一位数字，信息量会增加0.155-bits。我不明白这一点，因为压缩的效果似乎比理论预期要好得多。

为了进一步理解这一点，我还比较了 1 和 0 二进制序列的压缩字符串大小，其中 1 出现的概率为0<p<1。然后，字符串的压缩大小（每个数字）应该跟踪香农熵并且在p=0.5 处最大(=1)。我发现压缩字符串大小（每位数）的曲线远低于香农熵，如果我将香农熵乘以 0.155，它们大致位于彼此之上。

显然，我没有考虑到一些标准化因素，但我无法弄清楚它的基本原理。我还尝试使用16、32和64位无符号整数对原始序列进行编码，发现比率compsize / rawsize分别大致变为0.176、0.2、0.23，所以它看起来通过在 1 和 0 的表示中添加一个字节，我们贡献了大约 0.25 位的额外信息，这也很奇怪。

任何建议都会非常有用！

Answer 1

当调用np.random.randint(0, 2, l, dtype='uint8').tostring()时，你得到的不是0和1的随机序列，而是0和1的8位二进制表示的随机序列：10000000和@987654323 @。几乎每 8 位 1 是随机的，其他 7 位都是 0。我猜最佳比例应该是 1/8 左右，加上一些开销。

确实，如果改用np.random.randint(0, 256, 100000, dtype='uint8').tostring()，comp_ratio 为~1。

Answer 2

您会发现，当您在输入中添加一位熵时，您会在压缩输出中添加 0.155bytes，即 1.24bits。