是什么让一个问题比另一个问题更根本？答案

【问题标题】：What makes a problem more fundamental than another?是什么让一个问题比另一个问题更根本？
【发布时间】：2010-12-12 22:09:48
【问题描述】：

对于什么使问题比另一个问题更根本，是否有任何正式的定义？否则，什么是可接受的非正式定义？

排序与字体渲染是比另一个更根本的问题示例。

【问题讨论】：

字体渲染如何简化为排序？

标签： algorithm definition

【解决方案1】：

例如，当许多问题可以使用一种算法解决时。任何用于排序的最佳算法都是如此。顺便说一句，也许您正在混合问题和算法？一个问题可以简化为另一个问题有一个正式的定义。见http://en.wikipedia.org/wiki/Reduction_(complexity)

【讨论】：

这里没有混淆问题和算法。在计算中有许多不是算法的基本问题，例如 P!=NP 和停机问题。

【解决方案2】：

最初的问题是一个有效的问题，不必像@slebetman 所建议的那样假设/考虑复杂性和可简化性。（从而使问题更加基础:)

如果我们尝试一个正式的定义，我们可以这样定义：如果 P1 的解决方案会影响更广泛的其他问题集的结果，那么问题 P1 比问题 P2 更基本。这可能意味着 P1 将影响计算机科学不同领域的问题——甚至可能更远。

实际上，我会再次纠正@slebetman。我会说“如果一个问题使用或挑战一个假设，那么它比没有假设的同一个问题更不重要”，而不是“如果某事使用或挑战一个假设，那么它就没有那个假设那么重要”。强>。 IE。对象的排序比整数的排序更基础；或者，打印机上的字体渲染不如任何设备上的字体渲染基础。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果我理解你的问题是正确的。

当您可以通过应用多种算法来解决同一个问题时，在内存和 CPU 上都证明其轻量级的算法被认为是更基础的。我可以想到另一件事，一个基本算法不会使用其他算法，否则它会是一个复杂的算法。

【讨论】：

某事物的“轻量级”与基本原理无关，因为问题is the brute-force approach the only way to solve this and if so can the brute-force approach be speeded up? 是计算中最基本的问题之一（与停止问题有关）。问题的正式名称是：P != NP or P = NP.

【解决方案4】：

具有更多应用的问题或解决方案是更基本的。

（排序有很多应用，P!=NP 也有很多应用（或含义），渲染只有少数应用。）

【讨论】：

【解决方案5】：

Inf 在暗示复杂性和可简化性时是正确的，而不仅仅是算法实现中涉及/包含的内容。这是你做出的假设。

所有代码片段都是根据对其运行所在世界的假设编写的。这些假设比使用这些假设编写的代码更基本。简而言之，我想说：如果某事使用或挑战某个假设，那么它就没有该假设那么基本。

让我们举个例子：排序。排序的问题是，当以幼稚的方式完成时，排序所需的时间会增长得非常快。用技术术语来说，排序问题往往是 NP 完全的。因此，开发排序算法的目的是避免 NP 完全。但是 NP 完成总是很慢吗？这本身就是一个问题，这个问题被称为 P!=NP，到目前为止还没有被证明是真的还是假的。所以 P!=NP 比排序更基础。

但即使是 P!=NP 也会做出一些假设。它假设 NP 完全问题总是可以运行到完成，即使它需要很长时间才能完成。换句话说，NP 完全问题的大 O 表示法永远不会是无限的。这就引出了一个问题，所有问题都保证有一个完成点吗？答案是否定的，并非所有问题都有保证完成点，其中最简单的就是无限循环：while (1) {print "still running!"}。那么我们能检测出所有程序无限运行的情况吗？不，这就是停机问题的证明。因此，停机问题比 P!=NP 更为根本。

但即使是停机问题也会做出假设。我们假设我们所有的程序都在一种特定的 CPU 上运行。我们可以将所有 CPU 视为等效吗？是否有可以构建的 CPU 来解决停机问题？嗯，答案是只要一个 CPU 是图灵完备的，它们就等同于其他图灵完备的 CPU。因此，图灵完备性是比停机问题更根本的问题。

我们可以继续质疑我们的假设，例如：各种信号是否等效？流体计算机或机械计算机有可能与电子计算机根本不同吗？它将把我们引向香农的信息论和布尔代数等，我们发现的每一个假设都比上面的假设更基础。

【讨论】：

“从技术上讲，排序问题趋向于NP完全。” - 呃，什么？不仅排序不完整，而且我无法想象有人认真考虑它可能是。
@Nick：最糟糕的排序实现是要求您在第一轮中找到可能的最小数字，然后在第二轮中找到第二小的数字，然后是第三小等等。这是NP完成。这就是人类在物理世界中自然地对事物进行排序的方式，也是新手第一次遇到这个问题时可能会实施的算法之一。
@slebetman 说：如果某事使用或挑战一个假设，那么它就没有那个假设那么重要。 LordCover 说：一个基本的算法不会使用其他算法，否则它会是一个复杂的算法。意思相同。
@LordCover：但排序实际上并没有“使用”NP-completeness（事实上，这是一个已知不是 NP-complete 的问题，这是 Nick 在上面抱怨的），而是使用了知识NP完全算法需要很长时间才能解决。没有这样的算法称为 NP-complete。事实上，排序算法旨在避免 NP 完全性。换句话说，排序算法试图“不使用”NP-completeness。在您的定义中，这使得排序的基础不亚于 P!=NP。
@LordCover：另一方面，如果您在陈述中将“算法”一词替换为“问题”或“知识”或“假设”，那么您将是正确的。这正是我在回答中所做的。