找到 Haskell 函数 f, g 使得 f g = f 。 G答案

【问题标题】：Find Haskell functions f, g such that f g = f . g找到 Haskell 函数 f, g 使得 f g = f 。 G
【发布时间】：2024-01-19 21:29:01
【问题描述】：

在学习 Haskell 时，我遇到了一个挑战，要找到两个函数 f 和 g，这样 f g 和 f . g 是等价的（并且总计，所以像 f = undefined 或 f = (.) f don不算）。给定的解决方案是f 和g 都等于\x -> x . x（或join (.)）。

（我注意到这不是 Haskell 特有的；它可以用纯组合逻辑表示为“找到f 和g 使得f g = B f g”，然后给定的解决方案将转换为@987654334 @.)

我理解为什么当我扩展给定解决方案时它会起作用，但我不明白如果你还不知道它是如何找到它的。这是我能走多远：

f g = f . g（给定）
f g z = (f . g) z（两边的eta-expansion）
f g z = f (g z)（简化 RHS）

我不知道如何从那里着手。在尝试找到解决方案时，我接下来会做什么？

【问题讨论】：

也许一个开始的地方是弄清楚他们必须拥有什么类型。事实证明，要使表达式有意义，它们必须具有多态类型，这可以告诉你很多可能的实现。
让f 为id 和g 为任意函数。 id g = g = id . g.

标签： haskell functional-programming lambda-calculus combinatory-logic

【解决方案1】：

我发现通过考虑 Church 数字计算可以找到一系列解决方案。在 Church 编码中，乘法是通过组合 Church 数字来执行的，而乘方是通过将基数应用于指数来执行的。因此，如果f 是某个数字x 的Church 编码，而g 是某个数字y 的Church 编码，那么f g = f . g 意味着y^x = x*y。该方程的任何非负整数解都转化为原始问题的解。例子：

x=1, y=0, f=id, g=const id
x=1, y=1, f=id, g=id
x=1, y=2, f=id, g=join (.)
由于y^1 = y = 1*y 适用于所有y，因此f=id 适用于所有教会数字g 是有道理的。确实如此，事实上，正如 Rein Henrichs 所指出的，所有g 都是如此，而且这很容易通过检查来验证。
x=2, y=0, f=join (.), g=const id
x=2, y=2, f=join (.), g=join (.)
x=3, y=0, f=(.) <*> join (.), g=const id
由于0^x = 0 = x*0 表示所有正数x，因此g=const id 适用于所有正数Church 数字f 是有道理的。（它不适用于 f=const id，教会数字 0，这是有道理的，因为 0^0 是一个不确定的形式。）

【讨论】：

0^0 在这里不是不确定的，它是 1（自己检查它是 id）。这是因为我们在这里处于离散情况而不是连续情况。
@Potato44 是的；我想我的意思是它通常是不确定的，并且恰好在 Church 编码中评估为 1。