递归 lambda 演算函数答案

【问题标题】：Recursive lambda calculus function递归 lambda 演算函数
【发布时间】：2016-04-18 16:19:08
【问题描述】：

我想创建一个 lambda 演算函数 P，使得 (P x y z) 给出 ((x y)(x P)(P z))。我曾尝试使用 Y-combinator/Turing 组合器的变体，即 λg.(g g) 形式的函数，因为我需要重现函数本身，但我看不到任何前进的方向。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

标签： recursion functional-programming lambda-calculus y-combinator

【解决方案1】：

基本上你想解决“β-方程”P x y z = (x y) (x P) (P z)。有一种求解M = ... M ... 形式方程的通用方法。您只需将右侧包装在 lambda 中，形成一个术语 L，其中所有出现的 M 都将替换为 m：

L = λm. ... m ...

然后使用定点组合器得到解决方案。让我用你的例子来说明。

L = λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)),
    where λxyz. is a shorthand for λx. λy. λz.

然后，P = Y L，展开Y 和L，我们得到：

P = (λf. (λg. f (g g)) (λg. f (g g))) (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)))
  ->β
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))
// the previous line is our "unfolded" P

让我们检查P 是否符合我们的要求：

P x y z
    =   // unfolding definition of P
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) x y z
    ->β
((λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) x y z
    ->β
(λxyz. (x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)) x y z
    ->β
(x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 1st occurrence of P
(x y) (x P) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 2nd occurrence of P
(x y) (x P) (P z)

Q.E.D.

【讨论】：

【解决方案2】：

U-combinator 应该可以帮助您创建一个自引用的 lambda 抽象。

这是 Ω，最小的非终止程序，很好地展示了 U 组合子。

((λf. (f f))
 (λf. (f f)))

如果你能给它一个名字

Ω := λf.(f f)

这是你的抽象的样子

((λP. (P P x y z))
 (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))))

或者使用Ω

λx. λy. λz. Ω (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))) x y z

【讨论】：