从 DAG 创建强连接组件

Question

我正在尝试从有向无环图创建强连通分量。

输入是表格中的边列表

1 2
3 5
etc

我需要创建要添加到给定图中的最小边集的出点，以制作强连通分量图......

有什么想法吗？

这是我正在寻找的示例：

给定输入：

1 3
1 4
2 3
2 4
5 7
5 8
6 8
6 9

输出将是添加创建强连通分量所需的最小边数。

输出：

3 1
4 5
7 6
8 1
9 2

Answer 1

假设图中没有孤立的顶点，您只需添加 max(|sources|,|sinks|) 边即可使其强连接。

令 T={t₁,…,t_n} 为汇，{s₁,…,s _m} 是 DAG 的来源。假设 n i,s_j) 当且仅当 t_i 可以从 s_j.

令 M 为 G(T,S) 中的最大匹配。不失一般性假设 M 由 k 条边组成：{(t₁,s₁),(t₂,s ₂),…,(t_k,s_k)}。在原始图 DAG G 中，添加有向边 {(t₁->s₂),(t₂->s₃),…,(t_k−1->s_k),(t_k->s₁)}。很容易看出，通过添加这些边，由 M 诱导的顶点在 G 中是强连接的。

现在考虑 G(T,S) 中的剩余顶点。因为 M 最大，所以 S−M 中的每个顶点（分别是 T−M）应该连接到 T 中的一个顶点（分别是 S−M）。所以我们将剩余的顶点任意配对，比如 {(t_k+1,s_k+1),…,(t_n, s_n)} 并在 G 中添加相应的有向边。对于每个剩余的源顶点源 s_i (i 属于 {n+1,…,m} 我们添加G 中的边 (t₁->s_i)。因此添加的边总数为 max(|sources|,|sinks|)。

编辑：添加几个示例

对于您输入中的示例。我们首先计算一个最大匹配，比如：

3--1
4--2
7--5
8--6

所以我们添加边：

3->2
4->5
7->6
8->1

匹配中不存在的剩余（汇）顶点是 9，因此我们将 9 的弧添加到匹配中的任何源顶点，例如 9->1。

这是另一个说明算法所有步骤的示例：

输入图：

12 3   5    9 10  (sources)
\|/   /|\    \/
 4   6 7 8   11   (sinks)

最大匹配：

4--1
6--5
11--9

所以我们添加边：

4->5
6->9
11->1

现在剩余的接收器是{7, 8}，剩余的源是{2, 3, 10}。我们任意将 7 与 2 和 8 与 3 配对并添加：

7->2
8->3

最后，剩余（源）顶点为 10，我们添加：

4->10

Answer 2

如果我正确理解了您的问题，您应该使用图形的邻接矩阵表示。最初，它将是一个稀疏矩阵，其中包含 1 或您当前边缘所在的位置。

使用矩阵的简单遍历，创建 SCC 所需的所有 0 元素 -> 1，并且这些转换中的每一个都将是您需要添加的边。

还有一个很好的 wiki 页面显示了可能用于此的流行算法：

http://en.wikipedia.org/wiki/Strongly_connected_component

推荐Tarjan's和Path-based算法是最实用的。