这是什么类型的问题？帮助分类

Question

最近，我遇到了这个问题，我很想知道 1) 我可以将这种类型的问题归类为一个特定的名称，或者 2) 解决这个问题的最佳方法是什么。这有点挑剔，所以请多多包涵，因为我会尽力解释它（为糟糕的绘图提前道歉）。

给定一个代表土壤图的 n x n 矩阵。每个条目都有一个数值，表示使该地块肥沃所需的水量。您可以选择降雨的特定坐标（强度I），降雨面积取决于参数d（始终是偶数） .大 d 意味着更大的面积..

这里是挑剔的部分。

下雨的方式如下图所示。郊区（由虚线绿线表示）的降雨量（I/2）是其对应地区的一半。所以在这种情况下，它将接收 4 毫米。因此，通过决定在点 (3,3) 周围倾盆大雨，边界上将有 7 块土壤（7 块小于或等于 8 / 2 = 4）和内部（ 10 个小于或等于 8 的地块）导致总共 17 个土壤变得肥沃。

问题提出，给定 (n x n: 2d int array, d: int, I: int) 的参数，什么是可以肥沃的土壤的最大数量？

n.b.坐标的位置没有限制，即可以在地形的边缘。

我通过以下方式解决了它：

基本上是蛮力，但有一些效率调整。

效率调整 1：根据 d 的值，它包含多少块土壤有一个限制 [d * (d / 2 + 1)]。如果任何点满足最大值，则停止搜索。

效率调整 2：例如，如果 d 的值为 10，那么它的半径将为 5，这意味着它最多会在内部区域内完全覆盖 sqrt(5) 到 sqrt(5)。换句话说，它最多会完全覆盖 2 x 2，因此，我们可以从点 (2, 2) 开始搜索，而不是从 (0, 0) 开始搜索，这会造成不必要的水空地。类似地，我们可以在对角的对角点结束搜索，即 (n - 2, n - 2)。

这个解决方案感觉不是最佳的，因为随着 d 和 n x n 变大，正在计算的土地有很多重叠。

Answer 1

蛮力解决方案的时间复杂度为 O(n^2 * d^2)。

有效的优化是使用sliding window 方法。一旦您知道给定点的灌溉值，您就可以通过查看两个区域不同的正方形来计算下一个相邻点的值。这使您可以将复杂度降低到 O(n^2 * d)。

实际上，通过利用问题的几何特性，您可以进一步优化这种方法，以实现最优的 O(n^2) 时间复杂度。 （提示：考虑沿对角线移动窗口。）细节留给读者作为练习。

进一步阅读：

• https://www.baeldung.com/cs/sliding-window-algorithm
• What is Sliding Window Algorithm? Examples?

Answer 2

如果边界单元接收到全部降雨量，问题会简单得多。在这种情况下，您可以将问题转换为滑动窗口 2D 最大子数组问题：

1. 对于所有单元格，减去降雨量。
2. 将可育细胞标记为 1，将非可育细胞标记为 0。
3. 在生成的二进制矩阵上求解滑动窗口二维最大子数组问题。

该区域不是矩形并且边界单元仅接收一半降雨的事实使问题变得更加困难，但我仍然将此问题归类为最大子阵列问题的变体，并且在该空间中研究算法将是一个很好的起点。

Answer 3

假设您有一个表格dp[][]，其中dp[i][j] = 矩阵的i 行中value < I 的单元格数，在[0..j] 列之间（如何填充dp 表格：@987654327 @)。对于您给定示例的第一行，dp 表将显示为{1,2,3,4,5,5} 给定一行中的边界点，您可以使用此表在 O(1) 中计算该行中可育细胞的数量。

现在，如您的示例所示，您可以使用简单的观察。对于给定的d，有最大的(d-1)*4 边界点。考虑左侧的(d-1)*2 点（对于每个左边界点，同一行中将有一个右边界点）。对于该集合中的任何给定点x，（让它的正确对应点为y），您可以使用dp[][] 表获得@9​​87654335@ 和y 之间的肥沃细胞数量（具有全强度降雨） (count of fertile cells = dp[i][y]-dp[i][x], where i is the row number)。现在，您还要检查x 和y 本身是否因I/2 下雨而肥沃。

由于有N^2点，并且每个点都有O(d)边界点，因此这种方法将具有O(N^2 * d)时间复杂度和O(N^2)空间复杂度