给定 2D 平面中的 N 个点，确定是否有一条线将它们分成两组 N / 2 个点 + 更多规则答案

【问题标题】：Given N points in a 2D plane, determine if there is a line that divides them into two sets of N / 2 points each + some more rules给定 2D 平面中的 N 个点，确定是否有一条线将它们分成两组 N / 2 个点 + 更多规则
【发布时间】：2021-05-10 01:36:26
【问题描述】：

给定 2D 平面上的 N 个点，确定是否有一条线将它们分成两组，每组 N / 2 个点。

还有两条规则：

每组点到这条线的距离总和应该相同。
线不能通过任何点。

附加（不确定是否有帮助）：我们可以假设N 很大（~100k）； -2000

你们对这个问题有什么见解吗？我真的尝试了很多东西，但我相信我应该使用某种相等性，或者证明类似：sum(distancesSet1[i]) = sum(distancesSet2[i])。如果你愿意，我也可以在这里发布我尝试过但失败（或者我认为失败）的东西，但在此之前我想看看你的建议。

非常感谢！

#编辑： 对于这个问题，我需要知道的是，在给定 N 个点的集合的情况下，准确地说出它是否可能。

【问题讨论】：

看到您的编辑后，我会将问题的标题更改为以下内容：“给定 2D 平面中的 N 个点，确定是否有一条线将它们分开（...） "
我不太习惯堆栈溢出，谢谢建议。
别担心，但你把它当真了！我写了“（...）”来代表问题的其余部分。重新完成标题可能是个好主意。
我不确定这样做是否可行，但我想再次提出这个问题。有没有人有任何提示或您知道与解决这个问题有关的任何事情？
这是一个想法：1）选择一个轴，例如X; 2）求中位数和平均值； 3）如果中位数和平均值之间没有点，那么有一条垂直于该轴的线穿过平均值并将这些点分开； 4）否则，尝试与其他轴相同。如果两者都失败，那么这条线可能仍然存在，但我不知道如何证明任何一种方式。希望这有助于作为一个开始。

标签： algorithm line computer-science computational-geometry point

【解决方案1】：

更新：这是试图回答最初的、更普遍的问题，即是否可以划分分数。

您的约束所定义的问题在数学上是无法解决的。您不能保证两组的距离总和相等。

你所需要的只是一个反例：

S = [[-1000,0], [0,0], [1,0], [2,0]]

只有一种可能的组合来分隔这些对：

S1 = [[-1000,0], [0,0]] 
S2 = [[1,0], [2,0]]

所有点都在一条线上L1。鉴于您的项目符号 #2，我们可以得出结论，任何分隔这些点的线 L2 将形成一个角度 t wrt L1。那么距离的总和是：

sum1 = a*sin(t)   ::   1000 < a < 1002  
sum2 = b*sin(t)   ::      1 < b < 3

   t != 0
sum1 > sum2

QED

【讨论】：

你将如何编写算法来说明它是否可能？我的意思是，这条线本身我不需要知道，只要有这条线是可能的。