两个 NP 竞争问题之间的逼近算法

Question

假设对于以下每一对中的两个问题之一存在 O(n²) 时间的 alpha 近似算法：

• 顶点覆盖和独立集
• 独立集和派系
• 最大流量和最小切割

这是否保证对于该对中的另一个问题存在 O(n²) 时间的 alpha 近似算法？我知道 Clique 减少为独立集，而独立集又减少为顶点覆盖。

Answer 1

不一定，有两个原因。

首先，NP 减少的复杂性通常不是线性的。其中一些是，但通常复杂性问题n 会减少到其他一些大小为n^3 或其他的NP 问题。即使我们找到了线性时间 3SAT 算法，我们也不会找到所有 NP-hard 问题的线性时间算法——只是多项式算法。因此，如果“相似”是指“也 n^2”，则不是一般意义上的。

其次，近似值通常不会转移。由于复杂性的非线性增长（这是对原因的简化，但它会这样做），近似保证通常不会在减少过程中幸存下来。因此，虽然所有的NP完全问题在某种意义上都是精确解难的同志，但在近似难上却远非如此。

在某些特定情况下，近似值确实会转移（以及您的一个示例——留给读者作为练习——肯定会转移）。但这绝不能保证。