证明 PATH 问题不是 NP 完全问题

Question

PATH 指的是图 G 中是否存在从 s 到 t 的有向路径的问题。我知道 PATH∈P 但我发现很难证明它不是 NP完全问题。如果以某种方式证明了这一点，那是否意味着 P≠NP？

Answer 1

对于一个问题是 NP 完全的：

• 它需要是 NP 难的
• 它需要在 NP 中

对于一个 NP 难的问题，它必须至少与 NP 中最难的问题一样难。 这意味着必须可以在多项式时间内使用 NP-hard 问题来解决 NP 中的任何其他问题。

我们想证明 PATH 不是 NP 完全的，但我们已经知道它在 P 中，所以它也肯定在 NP 中（简单地说，每个确定性图灵机都可以由非确定性图灵机模拟）。

因此，证明 PATH 不是 NP 完全的唯一方法是证明至少有一个 NP 问题不能在多项式时间内简化为 PATH。 不幸的是，您会发现这取决于 P vs NP 开放问题。

反证法

让我们使用旅行商问题 (TSP)，这是一个似乎与 PATH 非常相关的 NP 完全问题。 假设 TSP 简化为 PATH，即 TSP 问题的实例存在多项式时间修改，以便它们可以通过 PATH 图灵机正确解决。

我们知道所有 P 问题都可以在多项式时间内相互约简。 此外，我们知道所有 NP 问题都可以在多项式时间内简化为 TSP。

因此，通过传递性，所有 NP 问题都归结为 TSP，TSP 将归结为 PATH，而 PATH 则归结为所有其他 P 问题。 这产生 P = NP = NP-完全。

PATH 是一个 NP 完全问题当且仅当 P = NP = NP-完全。

类似地，证明 PATH 不是 NP 完全问题将等价于证明 P ≠ NP ≠ NP 完全。 如果 PATH 不是 NP 完全问题，则没有问题在 P 中是，因为所有 P 问题都可以在多项式时间内相互约简。