从每个类别中选择不重复的k个数字并最大化选择答案

【问题标题】：Select k numbers from each category without duplicates and maximize the selection从每个类别中选择不重复的k个数字并最大化选择
【发布时间】：2017-10-27 19:37:46
【问题描述】：

有N 数字列表。从每个列表中选择k 数字并返回可以以这种方式形成的最大集合（无重复）。如果可能有多个相同大小的集合，则返回其中任何一个都是可以接受的。

例如，如果 N = 3，k = 2，

l1: [1, 2, 3]
l2: [2, 7]
l3: [3]

那么最优结果是[1, 3, 2, 7]。从l1 中选择[1, 3]，从l2 中选择[2, 7]，从l3 中选择[3]。（虽然还有其他选择，但结果集中的元素数量少于这个，所以这个是最佳选择。）

我认为这是一个 NP-complete 问题，唯一的方法是枚举。

请解释一下。提前致谢！

【问题讨论】：

也许我不太了解这个问题，但似乎您可以将所有列表中的所有元素添加到一个集合中，并在线性时间内获得最大结果，不是吗？（然后您可以从结果集中随机选择k 数字）
@alfasin 那么它不会被授予 k 号码被选中。如果 l1 = [1,2], l2 = [3,4,5,6,7], 如果 k = 2, 那么从 [1,2,3,4,5,6,7] 中随机选择 4 可能会返回[4,5,6,7] 不包括 l1 中的 1,2。所以在这种情况下，最终结果必须包含来自 l1 的 [1, 2]。有意义吗？
但是如果你正在寻找max 解决方案，你真的不能随意做任何事情......
@alfasin，感谢您的跟进。在这种情况下，我的意思是最终结果可以是 [1,2,3,4] 或 [1,2,4,7]，两者都被接受。我希望我的算法具有这种随机性。
很抱歉没有很好地解释自己：如果你想要最大的结果，在你的最后一个例子中 - 答案必须包含1,2。既然你有这个限制，它就不再是“随机的”了。

标签： algorithm np-complete

【解决方案1】：

这个问题可以通过最大二分匹配来解决。这是一个经典的算法，它的描述在网上很容易找到，所以我就不在这里介绍了。

请注意，此算法是多项式时间的，因此问题不是 NP-hard。

二分匹配问题是：给定一个二分图，选择一组边，使得每个顶点最多与一个选定的边相邻，并在可能的集合中找到一个具有最大基数的边。

让我们构建一个二分图。在左侧部分，输入中出现的所有不同数字都有一个顶点。在右侧，每个列表都有k 顶点。现在，“数字”顶点与所有“列表”顶点相连，使得列表包含数字。

现在请注意，此图中最大匹配的基数正是您问题的答案：我们已从任何单个列表中提取了尽可能多的不同数字，而不会超过 k。在这里，我们允许从列表中获取少于 k 的项目，因为它不能增加答案。如有必要，您可以携带任何额外（无用）的物品。

如果您对最大流量有所了解，您可以考虑在每个列表中只添加一个顶点，使k-capacity 边下沉。这基本上是相同的，但会产生更快的渐近运行时间。

【讨论】：