在任何事情之前，我想明确的是，这是为了大学作业，我正在寻求帮助以了解能够实现它的算法。 所以我有这个可以在这里找到的任务： https://www.labri.fr/perso/dorbec/AA/projet-uno.pdf
基本上，我们有一组“卡片”，由 2 个 int 表示，一个代表卡片的颜色，另一个代表数字。要做的工作是找到最长的牌序列，例如 UNO 游戏，其中下一张牌是或相同颜色或相同数字。 为此，在诅咒期间已经实施了一系列算法，但我们必须实施的最后一个是“颜色编码”，现在我的时间不多了，仍然不清楚它是如何工作的。 我会把文字的图片放在这里以保持格式。
任何理解它的帮助将不胜感激。
谢谢
【问题讨论】：
标签： algorithm dynamic-programming probability np-complete
我想我可以帮助你。 您的问题可以很容易地转换为最长路径问题。找到一条长度为 k 的路径真的很难解决很长时间。即使 k 相对较小，例如 log (n)，人们仍然认为这在多项式时间内是不可能的。
基本思想：您多次为图着色，并希望您不小心为长度为 k 的路径着色。嗯，这个概率很小，但是如果你重复很多次，这个概率实际上会变得很大。
但首先，让我们假设图中有一条彩色路径。 “有色”是什么意思？彩色表示长度为 k-1 的路径有 k 个节点，用 k 种不同的颜色着色。如果你从一个颜色为 1 的节点 v 开始，你会怎么做？ 你会看看你的邻居，看看他们的颜色是否与你不同。如果有，则将它们添加到一个名为 P(1) 的集合中。 您将继续使用其中一个邻居，看看他们是否有颜色，该颜色尚未出现在颜色集中。只要您找到尚未见过的新颜色或达到 k-1 种颜色或您看到其中一个节点具有您已经看到的颜色，您就会这样做。在最后一种情况下，您中止任务并返回一切正常的地方。
重要提示：我们为节点着色。一条长度为 i 的路径，有 i+1 个节点和 i 边。
更正式：
让P i(v):= {S is element of ([k] choose i+1)| there exists a path, colored with the colors in S, which ends in v}
P 不是路径。 P 包含一些我们称之为 S 的颜色集。
在这种情况下，S 不是数字。它是不同颜色的基数 i+1 的子集。
例如：
P 3(v) 可能看起来像这样 = {{green, red, black, yellow}, {pink, orange, grey, yellow},{...}}。注意到“黄色”两次了吗？如果我继续使用更多的子集，“黄色”就会出现在每个集合中。为什么？因为它是我们端节点v的颜色！
所以P i(v) 至少包含一组S 的所有不同颜色，其中一条长度为i 的路径被着色。这条路径以v 结尾！
这是什么意思？
如果我们可以计算P k-1(v)，并且集合不为空。存在一条长度为 k 的路径。太棒了。
但是我们如何计算P k-1(v)？
这并不难：
如果我们想计算P i(v)。我们需要什么？
我们需要P i-1(x). X？为什么？ x 是v! ---> g ----> y ---> o -----> x ------> v 的邻居
假设{green, yellow, orange, color of x} 是P i-1(x) 的一个子集。我们称它为R。
记住？ P i-1(x) 可以有许多不同的集合。它可能看起来像这样：{{green, red, black, yellow}, {pink, orange, gray, yellow},{...}}！
好的，那么与 R 和 x 和 v 的关系到底是什么？
R 是一组颜色，表示长度为 i-1 且通向 x 的彩色路径。如果顶点 v 是 x 的邻居，它的颜色还没有出现在 R 中，那么我们可以将它添加到 R。但是现在 R 已经获得了一种颜色。它的大小 |R| 现在是 i+2。
看来这一定是 P i(v) 的新子集之一！为什么是现在？
好吧，我们已经将路径扩展了一种颜色，因此最好将其保存在相应的集合中！
那么到目前为止我们看到了什么：
你如何从一开始就计算它？ 你从 P 0(v) 开始，它就是 v 的颜色。 然后对于 v 的每个邻居 x，您计算 P 1(v)。如果你回想一下 i-1 的事情，P 1(v) 就是 P 1-1(x)。 P 0(x) 再次只是 x 的颜色。如果 x 和 v 的颜色不同，它们只是形成了 P 1(v) 的第一个子集！ 然后通过计算 P 1(x) 来计算 P 2(v)，P 1(x) 再次由 P 0(y) 计算，其中 y 是 x 的邻居。 只要我们还没有达到 P k-1(v)，这种情况就会继续。
至于复杂性：这在 O(2^k km) 内运行。其中 m 是边的数量，k 是路径的长度。 所以现在我们可以在多项式时间内使用这个算法来搜索 k = log n 长的路径。如果它比那个大，那么它就不再是多项式了，不幸的是。
所以，现在我们有一个算法可以在多项式时间内找到一条“长”路径。可是等等。只有路径是彩色的，它才能这样做！ 我不知道你住在哪里，但在我的世界里，图表默认不着色，尤其是不同颜色的路径。
我们必须这样做。 我们用 k 种不同的颜色为 k 长度的路径着色的概率是多少？
有k！用 k 种不同颜色为图形着色的多种方法。但是有 k^k 种不同的方法可以用 k 种不同的颜色为路径着色，它们可能会出现多次。示例：对于黄色 = y 和绿色 = g，您有 2!=2 个选项，其中颜色必须不同：(y,g) 或 (g,y)。当颜色不必不同时，您有 k^k = 2^2 = 4 个选项。 (y,y),(g,g) 和你已经看过的那些。 所以 Pr[Path 用 diff 着色。 colors]=k!/k^k，大于 e^-k，与 1/e^k 相同。 所以你同意概率很小，对吧？ 获得第一次成功的预期尝试次数是多少？ 这是一个几何分布，期望值 = 1/p = e^k。 所以我们认为，在 e^k 尝试之后，我们可以第一次希望我们有一条彩色的路径。有时它更少，有时它更多。 问题。一次尝试失败的概率是 1-e^-k，非常大。但是如果我们说执行这个 Te^k 次，那么概率。 Te^k 连续失败变得非常小： (1-e^-k)^Te^k
算法现在看起来如何？
这种算法称为蒙特卡洛型随机算法。 它的运行时间在 O(Te^k2^kkm) 并且错误的“不，没有路径（但实际上有路径）”的概率是小于 e^-T（同样，非常小。）再次，对于 k = log n，这个随机算法实现多项式运行时间！
【讨论】：