具有指定数量 AB 排列的不同字符串的数量

Question

给定四个数字 NAA、NAB、NBA、NBB，每个数字都小于或等于 10^5。

需要查找只包含AB字符且包含的不同字符串的个数：

• “AA”的确切 NAA 出现；
• 正是“AB”的 NAB 出现；
• 正是 NBA 出现的“BA”；
• 正是“BB”的 NBB 出现。

我只知道蛮力解决方案。 您能否给我一些提示或建议如何更快地做到这一点？

Answer 1

您可以使用两个 5 维 DP 表，其中单元格状态定义为：

tableA[N][AA][BB][AB][BA] = no. of strings of length N ending at 'A' having AA times "AA", BB times "BB", AB times "AB" and BA times "BA" and
tableB[N][AA][BB][AB][BA] = no. of strings of length N ending at 'B' having AA times "AA", BB times "BB", AB times "AB" and BA times "BA"

现在您可以使用以下状态转换规则来填充表格：

tableA[N][AA][BB][AB][BA] = tableA[N-1][AA-1][BB][AB][BA] + tableB[N-1][AA][BB][AB][BA-1] and
tableB[N][AA][BB][AB][BA] = tableA[N-1][AA][BB][AB-1][BA] + tableB[N-1][AA][BB-1][AB][BA]

使用适当的基本案例并最终检索答案：

answer = tableA[AB][NAA][NBB][NAB][NBA] + tableB[AB][NAA][NBB][NAB][NBA]

Answer 2

所以，是时候回答了。

给定一个字符串，您可以在不更改 N_AB 和 N_BA

的情况下进行以下转换

• AA -> 一个
• A -> AA
• BB -> B
• B -> BB

所以，我们可以通过“inflation”从既不包含 AA 也不包含 BB 的字符串开始得到任何有效的字符串。

充气

假设我们有一个没有 AA 和 BB 子串且 AB 和 BA 数量正确的字符串。

令 N_A 为该字符串中 As 的数量，N_B 为该字符串中 B 的数量（计算如下所示）。

比我们需要分配N_AA至N_A个地方。有 binom(N_AA+N_A-1, N_A-1) 方法可以做到这一点（查找整数compositions） .还有 binom(N_BB+N_B-1, N_B-1) 种可能性来放置额外的 B。因为 As 和 Bs 的插入是独立的，我们可以简单地将数字相乘以获得所有可能性。

计算实际结果

有四种情况需要考虑：

1. N_AB = N_BA+1：字符串以A开头，以B结尾。N_A=N_B =N_AB

   所以，N = binom(N_AA+N_AB-1, N_AB-1) * binom(N _BB+N_AB-1, N_AB-1)

2. N_AB+1 = N_BA：同上，只是到处交换A和B

3. N_AB = N_BA： 字符串要么以A开头以A结尾，要么以B开头以B结尾。所以有两种可能需要添加。

   1. 以 A 开头的字符串给出 N_A=N_AB+1 和 N_B=N_AB子>

   2. 以 B 开头的字符串给出 N_A=N_AB 和 N_B=N_AB +1

   所以，N = binom(N_AA+N_AB, N_AB)*binom(N_BB+N_AB-1, N_AB-1)

   + binom(N_AA+N_AB-1, N_AB-1)*binom(N_{BB sub>+NAB, NAB)}

4. 对于所有其他 N_AB 和 N_BA 对：N=0。

我希望，我把所有的“-1”都弄对了。对于糟糕的布局，我们深表歉意。