素数检查算法答案

【问题标题】：Primality check algorithm素数检查算法
【发布时间】：2010-01-13 08:16:46
【问题描述】：

素数检查可能是数学中的“那些”难题之一。因此，什么是可用于检查大量数字的最佳和最快的算法。最粗暴最慢的方式大概是：

public static bool IsPrime(int i)
{
    for (var x = 2; x < i - 1; i++)
    {
         if (i % x == 0)
         {
             return false;
         }
    }
    return true;
}

最近我读到 768 位 RSA 算法已经被暴力破解，使用网格计算阵列。他们如何对一个巨大的素数执行蛮力？每个处理单元是否占用一系列数字，将其分解并检查该范围内的所有数字是否为素数？

【问题讨论】：

难道你不只需要 for 循环到你要找的素数的一半吗？例如，如果你的数字是 100，那么 50 是可能影响它的最大数字，不是吗？
ceil(sqrt(i)) 是你需要检查的最大因素
也许我很笨，但我认为 floor(sqrt(i)) 是您需要检查的最大因素？
int.MaxValue 在素数测试领域不算是“巨大的数字”。你的数字有多大？
严格来说，您不需要检查任何因数来确定一个数是否为素数。对于我们关心的大数，椭圆曲线素性检验在实践中是最快的，而改进的 AKS 素性检验具有最低的可证明复杂性。我不认为它们中的任何一个实际上都会产生一个因素。 RSA 破解确实需要产生因子，所以基本上你问错了问题。

标签： algorithm cryptography

【解决方案1】：

查看 Wikipedia 上的 primality tests 以获取指向当前算法的指针

关于您的幼稚实现，请注意，如果数字可以被 2 整除，您可以立即返回 false，从而只检查奇数。此外，如果您没有找到 x 小于配对。因此，如果您没有首先找到较小的因素，那么您就完成了。

在你必须去https://mathoverflow.net/寻求帮助之前，你还可以将更多技巧应用于幼稚算法:)

【讨论】：

嗯。不要去 mathoverflow.net 寻求帮助，因为这不是研究/学术主题。（那里可能欢迎有关特定素性测试算法的具体问题）

【解决方案2】：

破解 RSA-768 并不直接涉及任何素数检查算法，而是需要一个因式分解算法：RSA-768 是两个非常大的素数的乘积，破解它需要找到这些素数。

使用的分解算法是 Lenstra 的 Number Field Sieve。

您可以在此处阅读全文：Factorization of a 768-bit RSA modulus。

【讨论】：

【解决方案3】：

这应该会快一些：

public static bool IsPrime(int i) {        
    // only go up to the root of i 
    // +1 to be save from floating point rounding errors, ceil should work too.
    var max = sqrt(i) + 1;

    // skip numbers dividable by 2, except 2 itself
    if (i == 2) return true;
    if (i % 2 == 0) return false;
    for (var x = 3; x < max; x+=2)  {
         if (i % x == 0)  {
             return false;
         }
    }
    return true;
}

【讨论】：

【解决方案4】：

我想存在某种工作负载分布，但我怀疑他们是否使用如此简单的算法进行素数测试。也许他们使用了number field sieve 或Lenstra's elliptic curve factorization。

【讨论】：

【解决方案5】：

素数测试！= 分解。

破解特定的 RSA 公钥并检索私钥，需要分解。

构造 RSA 公钥/私钥对的过程包括素数测试。大多数不用于因式分解的素性测试不会产生 100% 确定的答案，而是probabilistic 具有任意高的概率（更多的测试迭代 = 更高的概率）。

从技术上讲，您可以拥有一个快速的deterministic primality test，并且不涉及实际计算所讨论数字的任何因素。

【讨论】：

【解决方案6】：

我建议使用Fermat's Little Theorem。 'x' 的值为素数 if ((a ^ (x-1)) % x) == 1强>。其中 'a' 是任意数字，'x' 不等于 1、0 或 2。

【讨论】：

【解决方案7】：

public static bool IsPrime(int i)
{
    for (var x = 2; x < (i/2); x++)
    {
         if (i % x == 0)
         {
             return false;
         }
    }
    return true;
}

【讨论】：