具有相互依存变量的组合优化答案

【问题标题】：Combinatorial optimization with interdependent variables具有相互依存变量的组合优化
【发布时间】：2016-12-20 11:52:35
【问题描述】：

这是我在这些论坛上的第一篇文章，提前感谢所有回复。

我正在开发一个 java 应用程序，我在其中遇到了我认为被称为“组合优化问题”的问题。我只有基本的数学技能，所以到目前为止，试图研究这样一个问题的设置还没有取得成果。

基本上，我想做的是编写最有效的方法来找到具有变量 v1、v2、v3 等的较大集合 N 的最佳子集 n。这些变量除了具有确定的值/分数之外取决于某些其他变量的值/分数，这些变量可能包含在子集中，也可能不包含在子集中。

我有兴趣选择总价值/得分最高的子集。

因此，例如，完整集 N 由以下变量组成，并具有以下确定的值以及与其他变量的关系：

v1  8   { v2 ; v8 }
v2  6   { v1 ; v4 }
v3  9   { }
v4  7   { v2 ; v5 ; v8 }
v5  6   { v4 ; v10 }
v6  8   { v7 }
v7  5   { v6 }
v8  9   { v1 ; v4 }
v9  6   { } 
v10 7   { v5 }

与一个或多个其他选定变量有关系意味着总值将有一定的“起飞”——为了这个例子，我们假设每个关系都有一个。因此，选择前五个变量作为子集将得到 30 的总值：

v1  8   { v2 ; v8 }      = 8 - 1 = 7
v2  6   { v1 ; v4 }      = 6 - 2 = 4
v3  9   { }              = 9 - 0 = 9
v4  7   { v2 ; v5 ; v8 } = 7 - 2 = 5
v5  6   { v4 ; v10 }     = 6 - 1 = 5

对于这么小的集合当然不是问题，但我目前面临 100K 的集合和 10K 的子集——使用当前算法，我的计算机在 3 天内计算出解决方案！

我不一定需要解决此问题的代码，而是需要最佳的数学方法（如果有的话！）。请记住，虽然我很难理解基本水平以上的数学符号。

再次感谢所有回复！

【问题讨论】：

标签： java algorithm mathematical-optimization combinatorics

【解决方案1】：

对于线性规划求解器，输入类似

v1  8   { v2 ; v8 }
v2  6   { v1 ; v4 }
v3  9   { }
v4  7   { v2 ; v5 ; v8 }
v5  6   { v4 ; v10 }
v6  8   { v7 }
v7  5   { v6 }
v8  9   { v1 ; v4 }
v9  6   { }
v10 7   { v5 }

并将其转换为整数程序，如

maximize   8*v1 - v1v2 - v1v8
         + 6*v2 - v2v1 - v2v4
         + 9*v3
         + 7*v4 - v4v2 - v4v5 - v4v8
         + 6*v5 - v5v4 - v5v10
         + 8*v6 - v6v7
         + 5*v7 - v7v6
         + 9*v8 - v8v1 - v8v4
         + 6*v9
         + 7*v10 - v10v5

subject to
v1 + v2 - v1v2 <= 1
v1 + v8 - v1v8 <= 1
v2 + v1 - v2v1 <= 1
v2 + v4 - v2v4 <= 1
v4 + v2 - v4v2 <= 1
v4 + v5 - v4v5 <= 1
v4 + v8 - v4v8 <= 1
v5 + v4 - v5v4 <= 1
v5 + v10 - v5v10 <= 1
v6 + v7 - v6v7 <= 1
v7 + v6 - v7v6 <= 1
v8 + v1 - v8v1 <= 1
v8 + v4 - v8v4 <= 1
v10 + v5 - v10v5 <= 1

binary v1, v1v2, v1v8,
       v2, v2v1, v2v4,
       v3,
       v4, v4v2, v4v5, v4v8,
       v5, v5v4, v5v10,
       v6, v6v7,
       v7, v7v6,
       v8, v8v1, v8v4,
       v9,
       v10, v10v5

对于最佳解决方案而言，您的实例大小可能太大了，但人们永远不知道...

【讨论】：

【解决方案2】：

不幸的是，这个问题很难找到最优解。

如果你能有效地解决这个问题，那么你可以通过将每个顶点的值设置为 1 来解决 NP-hard maximum independent set problem，并对每条边进行非常大的惩罚。

因此，您应该寻找近似解决方案。您可能会发现使用模拟退火或遗传算法得到了合理的答案。

【讨论】：

花了我一些时间，但我现在尝试掌握这里提到的几个解决方案。我最终以模拟退火结束。不确定它是否是正确/最佳的解决方案，但至少它很容易理解和实施——而且它似乎对我正在尝试做的事情表现得相当好。感谢所有建议！

【解决方案3】：

您可以将您的集合视为图表。每个 vX 都是具有相应值的节点/顶点。示例 v1 是值为 8 的节点/顶点，v2 是值为 6 的节点/顶点，依此类推。然后它们之间存在边。示例 v1 有 2 条边：一条用于 v2，另一条用于 v8。每条边也可以有一个值（在您的情况下为 -1）。

因此，如果您使用图形，并选择 v1 到 v5：您有 8 + 6 + 9 + 7 + 6（顶点值）-1 -1 -1 -1 -1 -1（边值）。

试试看这个http://jgrapht.org/ 看看它是否对你有帮助。

另见一些 Graph Teory：http://www.people.vcu.edu/~gasmerom/MAT131/graphs.html。观察最长/最短路径算法（例如：http://www.maxburstein.com/blog/introduction-to-graph-theory-finding-shortest-path/）

【讨论】：