将人员分成两个具有关系图的团队

Question

我们有n 玩家，其中一些玩家是朋友（如果 John 是 Sara 的朋友，那么 Sara 也是 John 的朋友）。我们想将这些玩家分成两支球队（一支球队也可以是空的！）。如果一个团队中的所有玩家都是朋友，而另一个团队中的每个玩家都是玩家的敌人（而不是朋友），那么该团队可以赢得比赛。给定一个带有n 顶点和m 边的图（每条边都表示友谊），我如何检查我们是否可以拆分顶点以获得获胜的团队？

Answer 1

您正在寻找图中的部分，其中 (a) 每个节点都连接到其他节点，并且 (b) 没有节点连接到该部分之外的节点。最简单和最快的方法应该是把这两个步骤反过来，即找到图中的连接组件，然后查看这些组件是否完全连接。第一部分是简单的深度优先搜索，第二部分只需要计算边数。

1. 从图中获取尚未成为组件一部分的任何节点
2. 从该节点执行深度优先搜索以查找该节点所属组件中的所有节点
3. 检查组件是否全连接，即组件中的每个节点与其他节点之间都有一条边，即每个节点有k-1边，总共有k(k-1)/2边，k的大小为组件；如果是，则该组件是“获胜团队”
4. 如果还有未访问的节点，继续步骤（1）

总复杂度应该是O(n)，n 是图中的节点数。

Answer 2

基本上，您正在寻找cliques。

我们的获胜团队必须是原始图中的一个集团（他们都是彼此的朋友）。找到团后，您需要检查该团是否未连接到图表的其余部分。

伪代码：

allCliques = getAllCiques(originalGraph)
for each clique of allCliques {
  foundOutsideConnection = false
  for each node of clique {
    if (node is connected to any node outside the clique) {
      foundOutsideConnection = true
    }
  }
  if not foundOutsideConnection {
    print(clique)
  }
}