硬币找零算法 - DP 与一维数组答案

【问题标题】：Coin Change Algorithm - DP with 1D array硬币找零算法 - DP 与一维数组
【发布时间】：2015-11-19 19:57:18
【问题描述】：

我在这里遇到了硬币兑换问题的解决方案：Coin Change。在这里，我能够理解第一种递归方法，第二种方法使用 DP 和 2D 数组。但是我无法理解第三种解决方案背后的逻辑。

据我所知，最后一种方法适用于考虑硬币找零时使用的硬币顺序的问题。我对么？如果我错了，谁能解释我。

【问题讨论】：

“最后一种方法适用于考虑硬币更换中使用的硬币顺序的问题” - 不确定这意味着什么。能详细点吗？
我在这里的意思是硬币的集合 (1, 2, 1) 被认为与 (1, 1, 2) 不同。这里的总和是相同的，但在计算时却被认为是不同的。
second line 说：“硬币的顺序无关紧要。”
是的，这就是我的问题。当硬币的顺序无关紧要时，我无法理解为什么第三种方法有效并计算答案。
算法的哪一部分让你觉得顺序很重要？

【解决方案1】：

好吧，我自己想通了！

这可以使用归纳法轻松证明。令 table[k] 表示总共 k 的变化方式。现在该算法由两个循环组成，一个由 i 控制并遍历包含所有不同硬币的数组，另一个是 j 控制循环，对于给定的 i，更新数组表中元素的所有值。现在考虑对于一个固定的 i，我们已经计算了可以为从 1 到 n 的所有值给出变化的方式的数量，这些值存储在从 table[1] 到 table[n] 的表中。当 i 控制循环迭代 i+1 时，table[j] 中任意 j 的值会增加 table[j-S[i + 1]]，这只不过是我们可以使用至少一个硬币创建 j 的方法value S[i + 1]（存储硬币值的数组）。因此，table[j] 中的总价值等于我们可以使用价值 S[1]....S[i] 的硬币（之前已经存储）和价值 table[j-S[i + 1]]。这与递归算法中使用的问题的最优子结构相同。

【讨论】：

你在解释中混合了一些指数，但我认为你明白了：i（行）代表小和，j 是指数 j 上的硬币S。单元格table[i][j] 表示总和为i 的硬币可能组合的数量，其中包括硬币S[j]。该表是自下而上构建的，这意味着在每次迭代中逐渐计算“子和”，而不是计算“递归调用”，而是从先前已经计算的子和中获取。这也是为什么我们完成最后一个硬币的迭代后，最终结果会出现在最后一行
表格是一维的，table[k] 表示创建变化的方式的数量，总共 k。在第三个算法中，二维数组被折叠并覆盖一维数组，因为不再需要过去的数据。你的逻辑是对的。你能指出我在哪里混合了指数吗？我会纠正它们。
只需在以下部分中将 i 与 j （和虎钳）交换：“当 i 控制循环迭代 i+1 时，table[j] 中任意 j 的值按 table 递增[j-S[i + 1]] 这不过是我们可以使用至少一个值为 S[i + 1] 的硬币（存储硬币值的数组）创建 j 的方法。因此 table[j] 中的总值等于我们可以用价值 S[1]..S[i]（之前已经存储过）和价值表 [j-S[i + 1]]" 的硬币创建找零的方法的数量

【解决方案2】：

int arr[size];
memset(arr,0,sizeof(size));
int n;
cin>>n;
int sum;
cin>>sum;
int a[size];
fi(i,n)
cin>>a[i];
arr[0]=1;
fi(i,n)
for(int j=arr[i]; j<=n; j++)
    a[j]+=a[j-arr[i]];
cout<<arr[n];

数组arr被初始化为0，以表明i之和可以表示的方式数为零（即未初始化）。但是，可以表示 0 和的方式的数量是 1（零方式）。此外，我们取出每个硬币并从硬币面额开始初始化数组中的每个位置。 a[j]+=a[j-arr[i]] 意味着我们基本上将表示和 j 的可能方式增加了前面所需的方式数量 (j-arr[i])。最后我们输出a[n]

【讨论】：

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