这有多项式算法吗？可能是动态编程方法？答案

【问题标题】：Is there polynomial algorithm to this? Possibly dynamic programming approach?这有多项式算法吗？可能是动态编程方法？
【发布时间】：2014-03-03 02:07:12
【问题描述】：

假设给定一个集合 A = {1, 2, ..., m} 和一个集合 B = {1 , 2, ..., n}，这样集合A中的每个元素都必须分配给B中的某个元素>。集合 A 中的每个元素 i 和集合 B 中的每个元素 j 的以下参数是已知的：

S_ij 是将元素 i 分配给大于或等于零的元素 j 的成本；
t_ij是元素i对元素j大于等于0的最小偏好；
T_ij 是元素 i 对元素 j 大于或等于零的最大偏好。

对于每个固定的i，t_ij的所有值，T_ij（对于所有 j 的）是不同的。 m 和 n 为大于 0 的整数，其他变量为非负实数。

集合 A 中的元素根据 t_ij 的偏好分配给 B 中的元素（或T_ij）。例如，如果 t_ij t_ik (偏好 T_ij 或 T_ik 可以在任何情况下使用，请进一步阅读），然后元素 i 将被分配给 j 而不是 k。在 mn 个偏好中，恰好有 r 个必须使用 T_ij 的值作为偏好值，剩下的 mn - r 必须使用 t_ij 的值（低于 T_ij）。

如果将元素 i 分配给元素 j，则将成本 S_ij 添加到分配给元素 j 的总成本，即 C_j = C_j + S_ij。令Max为所有成本C_j中的最大值，Min为所有成本Cj。目标是选择分配元素 i 到元素 j 的哪些偏好将采用 T_ij 的值，以及哪些偏好将采用 t_ij 的值，这样的值：

Max 是最小的；
Max - Min 是最小的。

我认为有一些动态规划算法，但我不确定。有人知道如何通过 DP 方法或其他方法解决这个问题吗？然而，它可能不是多项式，但我认为它是。

示例。令m = 3，n = 2，即A = {1, 2, 3} 和 B = {1, 2, 3}。令r = 2，矩阵S、t和T为

    |5 9|      |1 3|      |10  7|
S = |7 1|, t = |4 2|, T = | 5  4|.
    |8 4|      |3 4|      | 9 12|

Solution 等于 5 在最小化 Max 值的情况下。可以构造类似的示例来最小化 Max - Min。

【问题讨论】：

我在问题陈述中闻到了一些垃圾箱包装的味道。因此，不确定算法是否可以是多项式
您可能无法同时优化 Max 和 Max - Min。是那些不同的目标还是您仅将 Max - Min 用作具有相同 Max 的解决方案的决胜局？
对不起，我可能不太清楚。这是两个不同的问题。第一个是最小化 Max，第二个是最小化 Max - Min。
所以你说你做m*n的任务。这意味着 A 的每个元素都分配给 B 中的 all 元素。我误解了什么？我认为一个例子会对这个问题有很大帮助。
另外，所有变量的范围限制是什么（n、m、r、S_ij、t_ij、T_ij）？它们都是整数吗？大于零？它们最大可以有多大？您需要更具体地说明这些要点。

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

问题是 NP 难的，可以通过将 Partition 简化为它来证明。

假设我们有一个算法M可以最佳地解决您的问题。

给定一个 Partition 实例 X = {x₁, x₂, ..., x_m} 并希望找到一个将 S 划分为两个总和差异最小的子集。让我们定义 n = 2, S_ij = x_i, t_ij = -j, T_ij = j。现在我们只需遍历所有可能的 r 并调用 M 作为子例程来找到 Max 的全局最小值。我们可以证明产生最小值 Max 的分配是 X 的最优 2-partition。

由于您使用的不是整数成本，而是实际成本，并且您的问题可能会因为 n > 2 变得更加困难（我们也可以使用 nBin packing /em> 以直接的方式解决您的问题），除非P = NP，否则您的问题似乎不太可能存在伪多项式解决方案。您应该考虑使用启发式方法来获得良好的近似解决方案。一个好的起点是查看 Bin 打包的近似方案并尝试使它们适应您的问题。也许一个简单的首次拟合方法就足以满足您的需求。还有两件事你应该记住：

您可以对 Max 进行二分搜索，然后将其用作“bins”的固定上限
t_ij 和 T_ij 对于固定的 i。您有一组偏好 T_i,1（从 t_ij 中提取）和一组替代偏好每个i的T_i,2（从T_ij中提取）。即使考虑非最低偏好也没有意义。

【讨论】：