解决问题_使用最大流量

Question

我正在尝试解决这个问题Problem。

问题陈述如下

伟大的查泽正在和乔佛里·拜拉席恩玩游戏。七个王国有n骑士。 i-th 骑士的力量等于ai (0 ≤ ai < m)。黑色城堡的墙上还有n+m-1 numbers f0, f1, ..., fn+m-2。

“游戏”由两个回合组成。在第一回合，Charzeh 选择了一个数字排列0, 1, ..., n-1 like p0, p1, ..., pn-1。

在第二回合乔佛里选择整数i (0 ≤ i < n)，然后斩首fpi + ai临冬城的随机居民。查泽很善良，乔佛里很残忍。这就是为什么查泽尽量减少而乔佛里尽量增加被斩首人数的原因。

如果他们都发挥最佳，会死多少人？

对于输入：

7 0 9 1
5 61 53 6 7 72 75 42 5 79 91 5 16

答案是7

当我浏览社论时，它显示可以使用最大最小流量来解决。我不知道这个算法在这里是如何工作的。谁能解释我如何解决这个问题，即告诉我这个算法是如何在这里工作的。

Answer 1

唯一重要的值是max(fpi + ai)。所以问题实际上是什么是最小值X，这样对于 i 的所有值，至少有一个排列 fpi + ai <= X。

要检查是否存在这样的排列，您可以创建一个二分图。一方面，您有对应于f 位置的节点，另一方面，您有对应于a 值的节点。您在f[x] 和a[y] iff f[x] + a[y] <= X 之间有一个优势，也就是说，如果您配对f[x] 和a[y] 的排列适合该解决方案。所有权重都应为 1。您现在可以计算结果图上的最大流量。如果您能够推送 n 个单位的流量（连接您拥有的所有 n 个节点），那么这是一个满足初始条件的排列（fpi + ai <= X）。

所以现在您要做的就是对最小值X 进行二分搜索，您仍然可以在相应的图中找到n 个单元的流。如果我没记错的话，复杂度将是O(log(N+M)*N^3)，日志来自二进制搜索，N^3 来自流算法。

您还可以尝试使用这样一个事实，即当您增加X 时，相应的图严格来说是原始图的超集（您不会通过增加 X 来删除边）。这意味着到目前为止，您为 X 的较低值找到的部分解决方案是计算 X 的增加值的流量的合理起点。另一种方式也适用，但它更加混乱（您需要找到边缘使用不再满足条件并在图中找到替代连接）。但是，除非您需要压缩最后一点性能，否则我不会为额外的复杂性而烦恼。