【发布时间】：2014-01-10 04:00:01
【问题描述】：
我有一个 N × N 网格，每个框中都有值。我必须从左上角移动到右下角（路径 1）并从右上角移动到左下角（路径 2）。当我从左上角移动到右下角时，我只能向下或向右移动。同样，当我从右上角移动到左下角时，我只能左右移动。
但如果我在走路径 1 时向下移动，路径 2 的相应移动应该向左移动。同样，如果我在走路径 1 时向右移动，路径 2 的相应移动应该向下。
当我们采用两条路径时，我们总结了我们在每个框中遇到的值。我们能得到的最大值是多少？
以下面的网格为例：
6 0 3 -1
7 4 2 4
-3 3 -2 8
13 10 -1 -4
我们可以采用的最佳路径表示如下：路径 1 用 * 表示，路径 2 用 ~ 表示。
(6*) (0) (3~) (-1~)
(7*) (4*~) (2~) (4)
(-3) (3*~) (-2*) (8*)
(13~) (10~) (-1) (-4*)
这两条路径的总和是 56。
我们必须设计一种算法来计算给定任意 N × N 网格的最大可能分数。
很明显，这是一个 DP 问题。所以，我试图确定一个递归关系，可以这么说。我尝试使用经典问题中的递归关系，即在 N×M 网格中找到所有路径的最大总和，但这不起作用，因为它太复杂了。
我尝试将 N × N 网格划分为四个 (N-1) × (N-1) 重叠的网格，因此在 3 × 3 网格中进行演示：
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9
我把它分成了四个 2 x 2 的网格：
a1 a2 , a2 a3 , a4 a5 , a5 a6
a4 a5 , a5 a6 , a7 a8 , a8 a9
假设我们知道所有这些网格的最佳路径，那么我们能否计算出更大网格的最佳路径？
嗯，这看起来很有希望，但我很快发现这些递归关系依赖于更大的案例。例如，
如果我们考虑第二个 2 x 2 网格，假设我们知道最佳路径 1 并且路径 2 = S。现在，很明显，要从 a1 到 a2，我们需要向右移动，但这意味着子案例中的第一个动作（路径 2 中的第一个动作）应该向下，这是不能保证的。
我们如何解决这个问题？
【问题讨论】：
标签： algorithm