如何找到图的加权最小顶点覆盖答案

【问题标题】：How to find weighted minimum vertex cover of graph如何找到图的加权最小顶点覆盖
【发布时间】：2012-08-20 21:29:21
【问题描述】：

所以，我有一个具有特定权重和边的顶点图。我正在尝试找到最小加权顶点覆盖。例如，如果我有一个大小为 10 的顶点覆盖，但每个节点的权重为 10，那么总覆盖的权重为 100。但如果我有一个大小为 99 的顶点覆盖，每个节点的权重为 1，那么我会选择这个封面而不是前一个。

我相信这是 NP-Complete，因此没有有效的算法，但我认为即使是详尽的搜索也对我有用，因为节点的数量会相对较少。我能想到的唯一方法是生成集合 [1 ... n] 的幂集（其中每个整数对应于图上的一个节点），然后测试每个单独的集合以查看它是否是1）一个有效的顶点覆盖，2）跟踪最低权重的顶点覆盖。

但这似乎非常低效。这是最好的方法吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm graph

【解决方案1】：

最小权重顶点覆盖是 NP 完全的，因此一般情况下您不能期望比穷举搜索更好，但您可以使用回溯来找到最小权重顶点覆盖，如下所示：

MinCover(Graph G, List<Vertex> selectedVertices, int min)
{
   var coveredAll = covered(G,selectedVertices);
   if ( coveredAll && weight(selectedVertices) < min)
   {
       cover = selectedVertices.ToList();
       min = weight(cover);
   }
   else if (!coveredAll && weight(selectedVertices) < min)
   {
      select another unvisited vertex and add it to selectedVertices
      call MinCover
      remove the previously selected vertex from the list
   }

   return;

}

【讨论】：

所以只是为了确认一下，如果选定的顶点是有效的顶点覆盖，covered() 返回 true/false，并且“先前选择的顶点”是上面选择的两行顶点？
@ShayonSaleh，是的，学习回溯很高兴看到八皇后，我的回答也是branch and bound。