使用小于或等于 k ​​的数字对数字求和的不同方法

Question

例子：给定total = 8和k = 2，将8表示为1和2之间的整数之和的不同方式的数量是5种方式：

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 2, 2]
[1, 1, 2, 2, 2]
[2, 2, 2, 2]

约束：

1 <= total <= 1000
i <= k <= 100

我们如何解决这个问题？动态规划？

Answer 1

在面试中，如果你怀疑问题可能是动态编程，你应该立即将其写成递归函数，然后添加缓存（也称为 memoizing）。

那么我们的基本情况是什么？

1. total 为 0。在这种情况下，一个空的和就可以了。

2. total

3. 我们正在考虑的数字范围是空的。这种情况下就没有办法了。

在其他情况下，我们要么减小列表的大小，要么使用列表中最大的数量。

这种递归解决方案非常简单。

def ways_to_sum(total, lower, upper):
    if total < 0:
        return 0
    elif total == 0:
        return 1
    elif upper < lower:
        return 0
    else:
        return ways_to_sum(total - upper, lower, upper) + ways_to_sum(total, lower, upper - 1)

print(ways_to_sum(8, 1, 2)) # prints 5
print(ways_to_sum(800, 1, 5)) # locks up

现在的问题是我们一遍又一遍地做很多工作。因此我们添加缓存：

cached_ways_to_sum = {}
def ways_to_sum(total, lower, upper):
    if total < 0:
        return 0
    elif total == 0:
        return 1
    elif upper < lower:
        return 0
    else:
        key = (total, lower, upper)
        if key not in cached_ways_to_sum:
            cached_ways_to_sum[key] = ways_to_sum(total - upper, lower, upper) + \
                                      ways_to_sum(total, lower, upper - 1)
        return cached_ways_to_sum[key]

print(ways_to_sum(8, 1, 2)) # prints 5
print(ways_to_sum(800, 1, 5)) # prints 147624812

如果此时您被要求另一种方法来做，那么您才应该考虑采用自下而上的 DP 解决方案。即便如此，我也会考虑缓存中的内容并从中构建它。