计算 Haskell 中的变化

Question

我遇到了counting change的DP问题的以下解决方案：

count' :: Int -> [Int] -> Int
count' cents coins = aux coins !! cents
  where aux = foldr addCoin (1:repeat 0)
          where addCoin c oldlist = newlist
                  where newlist = (take c oldlist) ++ zipWith (+) newlist (drop c oldlist)

它比我天真的自上而下递归解决方案运行得快得多，我仍在努力理解它。

我知道给定一个硬币列表，aux 计算正整数的每个解。因此，数量的解决方案是在该位置索引列表。

不过，我对addCoin 不太清楚。它以某种方式使用每个硬币的价值从硬币列表中提取元素？我正在努力寻找它的直观含义。

aux 中的折叠也将我的大脑打结了。为什么1:repeat 0是初始值？它代表什么？

Answer 1

这是针对问题的命令式 DP 算法的直接翻译，如下所示（在 Python 中）：

def count(cents, coins):
    solutions = [1] + [0]*cents # [1, 0, 0, 0, ... 0]
    for coin in coins:
        for i in range(coin, cents + 1):
            solutions[i] += solutions[i - coin]
    return solutions[cents]

特别是addCoin coin solutions对应

for i in range(coin, cents + 1):
    solutions[i] += solutions[i - coin]

除了addCoin 返回一个修改后的列表而不是改变旧的列表。对于 Haskell 版本，结果应该在开头有一个不变的部分，直到 coin-th 元素，然后我们必须实现 solutions[i] += solutions[i - coin]。

我们通过take c oldlist实现未更改的部分，通过zipWith (+) newlist (drop c oldlist)实现修改的部分。在修改后的部分，我们将旧列表的i-th 元素和结果列表的i - coin-th 元素相加。索引的移动隐含在 drop 和 take 操作中。

这种移位和递归定义的一个更简单、经典的例子是斐波那契数：

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我们会强制写成

def fibs(limit):
    res = [0, 1] + [0]*(limit - 2)
    for i in range(2, limit):
        res[i] = res[i - 2] + res[i - 1]
    return res

回到硬币变化，foldr addCoin (1:repeat 0) 对应于 solutions 的初始化和硬币上的 for 循环，变化是初始列表是无限的而不是有限的（因为懒惰让我们这样做）。