按顺序计算包含数字 2018 的不超过 n 的整数 [关闭]

Question

给定一个介于 0 和 10,0000,0000 之间的整数 n，计算小于 n 且包含数字 [2,0,1,8] 的整数个数] 为了。

例如应该计算数字 9,230,414,587，因为删除数字 [9,3,4,4,5,7] 会留下 [2,0,1,8]。

输入输出示例：

n = 2018      ->  count =     1
n = 20182018  ->  count = 92237

我的一般想法是：n 的最大长度为 10，最坏的情况是我们必须在 [2,0,1,8] 中插入 6 位数字并删除重复项和大于 n 的数字。

Answer 1

我没有看到任何自己尝试解决的方法，所以我只提供线索：

您有 9 位数字（小数字可能表示为 000002018），其中包含数字序列 2,0,1,8。
将它们命名为“好”的。
让表示从右到左从 1 到 9 的数字位置：

     number     532705183
digits     5  3  2  7  0  5  1  8  3
index      9  8  7  6  5  4  3  2  1

最左边的“2”位可以占据从 4 到 9 的位置。有多少好的数字包含第 k 个位置的第一个 2？让函数F2(l, k) 表示好数字的数量，其中2 指数字2，l 是数字长度，k 是最左边的数字。

 .   .   .   .  2   .   .   .   .
                ^ 
                | 
 left part      k     right part should contain 0 1 8 sequence
 without 2's

 F2(9, k) = 9^(9-k) * Sum(F0(k-1, j) for j=1..k-1)

好数字的总数量是所有可能 k 的 F2(9, k) 的总和。

GoodCount = Sum(F2(9, k) for k=4..9)

解释：

左边有 9-k 个地方。我们可以放除 2 以外的任何数字，所以剩下的部分可能有 9^(9-k) 个。

现在我们可以将0 放在正确的部分并计算018 子序列的可能变体。 F0(...) 当然将取决于 F1(...) 和 F1 将取决于 F8(...) 以获得更短的数字。

因此，请逐步填写表格以获取 F8, F0, F1 的值，最后计算数字 2 的结果。

包含子序列1 8 和k = 第一个'1'的位置的4位数字的手工示例：
k=2: 有81种数字xx18
k=3：有 x1x8 和 x18x 的数量
有 9 个子编号，如 x8，10 个子编号 8x，所以 (10+9)*9=171
k=4：有种类的数字
1xx8（9*9=81 个数字），
1x8x（9*10=90 个数字），
18xx（100 个数字） ,
所以 81+90+100=271
总体：81+171+271=523

Answer 2

这实际上是一个相对小的问题集。如果数字更大，我会选择使用优化的技术来生成所有符合您标准的数字（那些包含按该顺序排列的数字），而不是生成 所有 可能的数字和 检查每个以确保它符合标准。

但是，蛮力方法在大约 10 秒内完成您的 20182018 变体，并在不到 8 分钟内完成整个 1,000,000,000 范围。

因此，除非您需要比这更快的速度，否则您可能会发现蛮力方法绰绰有余：

import re

num = 1000000000 # or 20182018 or something else.

lookfor = re.compile("2.*0.*1.*8")
count = 0
for i in range(num + 1):
    if lookfor.search(str(i)) is not None:
        count += 1
        #print(count, i) # For checking.
print(count)