回溯算法的时间复杂度说明答案

【问题标题】：Time Complexity Clarification On Backtracking Algorithm回溯算法的时间复杂度说明
【发布时间】：2018-05-06 20:30:45
【问题描述】：

我写了以下算法来解决一个经典的回溯问题：编写一个程序，它接受一个由 n 个整数组成的数组，其中 A[i] 表示你可以从索引 i 前进的最大值，并返回是否可以前进到从数组开头开始的最后一个索引。

换句话说，A 中的第 i 个条目是我们可以从 i 前进的最大值。

例如，如果 A = [3, 3, 1, 0, 2, 0, 1]，则可以到达最后一个索引。如果 A = [3, 2, 0, 0, 2, 0, 1]，则不能。

我写了以下代码：

from collections import defaultdict 
def array_advance(lst):
  dict = defaultdict(lambda: 0)
  return advance(0, lst, dict)

def advance(start_idx, lst, memo):
  if start_idx >= len(lst): return False 
  if start_idx == len(lst) -1: return True 
  step_size = lst[start_idx]
  for i in range(1, step_size + 1):
    memo[step_size] |= advance(start_idx + step_size, lst, memo)
    if memo[step_size]:
      return True 
  return False

有了这段代码，我知道只有 N 个函数调用。如果我们记忆，每个索引都会被访问并缓存函数（索引）输出。

但是，我无法理解时间复杂度。关于输入的大小，当然时间复杂度与 O(N) 成比例。但是，输入的内容也很重要。如果每个元素是 L，输入的大小是 10L，for 循环将以 O(L) 缩放，运行 L 次（从 range(1, L + 1) 开始一次），导致 O( L^2)。如果我正在回答算法问题，甚至试图分析时间复杂度，说时间复杂度 O(N)，因为时间复杂度随数组长度缩放似乎具有误导性，因为它没有考虑输入的重要性。

【问题讨论】：

标签： python algorithm backtracking

【解决方案1】：

假设步长永远不会超过数组，您可以说它是O(sum(A))，因为这是一个考虑到数组元素的严格限制。你也可以说是O(N^2)，因为这是最坏的情况。

您可以在 O(N) 时间和 O(1) 空间内通过向后迭代数组来解决问题，记录到目前为止找到的最小索引，这样您就可以到达终点。

def array_advance(a):
    i = len(a) - 1
    for j in range(i, -1, -1):
        if j + a[j] >= i: i = j
    return i == 0

【讨论】：