最大权重增加子序列答案

【问题标题】：Maximum Weight Increasing Subsequence最大权重增加子序列
【发布时间】：2012-01-09 01:12:13
【问题描述】：

在Longest Increasing Subsequence Problem 中，如果我们按权重更改长度，即每个元素的长度 A_i 如果我们将其更改为 W_i 则为 1 我们如何在 O(NlogN) 中做到这一点。

例如对于 8 个元素的数组

Elements 1  2  3  4  1  2  3  4
Weights  10 20 30 40 15 15 15 50

最大重量为 110。

我在维基百科上找到了 LIS 解决方案，但我无法修改它来解决这个问题。

【问题讨论】：

用测试用例在 HackerRank 上解决这个问题 - www.hackerrank.com/challenges/subsequence-weighting

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

不过，我们使用f[i] 表示我们可以通过以E[i] 结尾的序列获得的最大值。

所以通常我们有for (int i = 1;i <= n;i++) f[i] = dp(i); 和最初的f[0] = 0; 和E[0] = -INF;

现在我们将在O(log(N)) 中计算f[i] 中的dp(i)。

在dp(i) 中，我们将找到所有0 <= j < i 的最大f[j] 和E[j] < E[i]。在这里我们可以维护一个Segment Tree。

所以dp(i) = find_max(1,E[i]-1) + W[i]（这需要O(log)），并且对于已经计算的每个f[i]，update(E[i],f[i])。

所以整个算法采用(O(NlogN))。

提示：如果E[i] 的变化范围很大，则可以是Discretizationed。

【讨论】：

什么是 dp[i] ？请问段树中将存储什么？谢谢。
@amahfouz dp(i) 只是一个计算 f[i] 值的函数。段树中，索引（或范围）为E的值，单槽更新值，查询一个范围内的最大值，典型的段树。
感谢您的回复。

【解决方案2】：

这是 swift 中的纯递归实现：

// input is Array of (a,w), where a is element and w is weight

func lisw(input: [(Int, Int)], index:Int = 0, largestA:Int? = nil)->Int{
       guard index < input.count else { return 0 }

       let (a,w) = input[index]

       if a <= largestA {
          return lisw(input: input, index: index + 1, largestA: largestA)
       }

       let without_me = lisw(input: input, index: index + 1, largestA: largestA == nil ? a : largestA)
       let with_me = lisw(input: input, index: index + 1, largestA: a) + w

       return max(without_me,with_me)
}

随意添加记忆；）

【讨论】：