将分层定价编写为线性程序

Question

有没有办法编写一个使用分层定价作为线性程序的成本函数？

supplier   volume A   price A   volume B   price B
1          0          $1        300        $2
2          0          $3        500        $1.50

我所说的分层定价是指供应商 1，前 300 公斤的价格为 1 美元，第二个 200 公斤的价格为 2 美元。 （如果我的体重超过 300 公斤，那么所有的单位都需要 2 美元）。这是我目前正在研究的成本函数。

cost = P1a * V1 + P1b * V1 + P2a * V2 + P2b * V2

s.t     V1+V2 = 1000
        V2 < 8000, V1 < 800
where
P1a = first price bracket for supplier 1
P1b = second price bracket for supplier 1
V1 = volume for supplier 1

如果在达到交易量 B 时所有交易量都变为价格 B，那么我可以添加一个二进制变量，使函数看起来像这样

cost = u * P1a * V1 + v * P1b * V1 + x * P2a * V2 + y * P2b * V2

s.t     u+v = 1, x+y = 1

u,v,x,y = 1 if price bracket is used, 0 if price bracket isnt used

有没有办法可以做类似的事情？

编辑： V1 和 V2 都是整数并且有一个设定的上限，比如说 800 公斤。还有一个需求约束，假设 V1 + V2 = 1000。

Answer 1

这似乎是可行的，只要有一个常数M>=0，它是音量变量V1 和V2 的共同上限（例如，如果有限制V1+V2 <=M）。 假设有这样一个M，让我们引入两个二进制变量b_1和b_2，它们分别表示（意味着值为1）V1>= 300和V2>=500：

300 * b_1 <= V1 <= 300 * (1 - b_1) + M* b_1
500 * b_2 <= V2 <= 500 * (1 - b_2) + M* b_2

现在我们引入非负变量a_1, h_1，它将V1分解成小于300的部分（用a_1表示）和包含超过部分的部分（用变量h_1表示）：

V1= a_1 + h_1
h_1 <= M b_1
300 b_1 <= a_1 <= 300  

二进制变量的最后两个约束强制 h1 仅在 V1 >= 300 和 a_1 在 V1 >= 300 时将始终为 300 时为正。 让我们分别为V2 做同样的事情

V2= a_2 + h_2
h_2 <= M b_2
500 b_2 <= a_2 <= 500  

那么代价函数就是

$1 * a_1 + $2 * h_1  + $3 * a_2 + $1.5 * h_2  
`

让我指出，这个解决方案在边界上可能不正确，例如当V1=300 时，因为二进制变量b_1 可能达到值0，因此a_1=0, h_1>0。 但是，如果卷 V1 和 V2 始终为整数值，则可以解决此问题，例如看 here

*J.Doe 评论的附录：

如果V1 是一个整数，那么边界问题将由301 b_1 <=V_1 <=301 (1-b_1)+ M b_1 处理，而不是上面b_1 的定义条件。

不，h_1 < = M b_1 - a_1 无效，因为这意味着 V1 = a_1 + h_1 <= M b_1 如果 V1 >=300 意味着 V1 = 0 - 这是不正确的。

是的，h_1 是第一个括号右上方的多余音量。

如果我们有多个价格范围，我们将需要 2 个进一步的变量：一个表示数量，它代表当前价格范围和下一个价格范围之间 V1 的交易量份额。 如果交易量 V1 介于当前价格区间和下一个价格区间之间，则第二个变量应该是一个二进制指标变量 1。