混合模型：石油生产

Question

调油

一家石油公司生产三种品牌的油：普通油、多级油和 最高。每个品牌的机油都由四种原油中的一种或多种组成，每种原油都有不同的润滑指数。原油库存相关数据如下。

+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+
| Crude Stock | Lubrication Index | Cost (€/barrell) | Supply per day (barrels) |
+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+
| 1           | 20                | 7,10             | 1000                     |
+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+
| 2           | 40                | 8,50             | 1100                     |
+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+
| 3           | 30                | 7,70             | 1200                     |
+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+
| 4           | 55                | 9,00             | 1100                     |
+-------------+-------------------+------------------+--------------------------+  

每个品牌的机油都必须满足润滑指标的最低标准，并且每个品牌 因此以不同的价格出售。三个品牌机油的相关数据如下 跟随。

+------------+---------------------------+---------------+--------------+
| Brand      | Minimum Lubrication index | Selling price | Daily demand |
+------------+---------------------------+---------------+--------------+
| Regular    | 25                        | 8,50          | 2000         |
+------------+---------------------------+---------------+--------------+
| Multigrade | 35                        | 9,00          | 1500         |
+------------+---------------------------+---------------+--------------+
| Supreme    | 50                        | 10,00         | 750          |
+------------+---------------------------+---------------+--------------+   

确定一天的最佳产出计划，假设生产可以是 以微不足道的成本出售或储存。 每日需求数据有不同的解释。调查 以下：
(a) 每日需求代表潜在销售额。换句话说，模型应该包含需求上限（上限）。什么是最优利润？
(b) 日常要求是严格的义务。换句话说，模型应该包含精确满足的需求约束。什么是最优利润？
(c) 每日需求代表最低销售承诺，但所有产出都可以出售。换句话说，该模型应该允许生产超过每日承诺。什么是最优利润？

问题

我已经能够在 Excel 中构建以下模型并通过 OpenSolver 解决它，但我只能整合普通油的混合物。 我正在尝试通过 Kenneth R. Baker 撰写的使用电子表格进行优化建模一书，但我一直坚持这个练习。虽然我可以从另一个混合问题中转移逻辑，但我不确定如何一次为多个混合构建模型。 我将问题建模为不同原油库存成本的最小化问题。使用润滑指数数据，我将 R-Lub 指数的约束构建为线性约束。到目前为止，对于普通油来说，答案似乎是正确的。但是，使用这种方法，我什至不知道如何包含第二种 Multigrade Oil。

+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Decision Variables |        |        |        |        |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
|                    | C1     | C2     | C3     | C4     |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Inputs             | 1000   | 0      | 1000   | 0      |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
|                    |        |        |        |        |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Objective Function |        |        |        |        |  | Total       |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Cost               | 7,10 € | 8,50 € | 7,70 € | 9,00 € |  | 14.800,00 € |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
|                    |        |        |        |        |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Constraints        |        |        |        |        |  | LHS         |    | RHS  |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| C1 supply          | 1      |        |        |        |  | 1000        | <= | 1000 |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| C2 supply          |        | 1      |        |        |  | 0           | <= | 1100 |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| C3 supply          |        |        | 1      |        |  | 1000        | <= | 1200 |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| C4 supply          |        |        |        | 1      |  | 0           | <= | 1100 |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| R- Lub Index       | -5     | 15     | 5      | 30     |  | 0           | >= | 0    |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| R- Output          | 1      | 1      | 1      | 1      |  | 2000        | =  | 2000 |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
|                    |        |        |        |        |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| Blending Data      |        |        |        |        |  |             |    |      |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+
| R- Lub             | 20     | 40     | 30     | 55     |  | 25          | >= | 25   |
+--------------------+--------+--------+--------+--------+--+-------------+----+------+  

这是带有 Excel 公式的模型：

+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Decision Variables |      |     |      |    |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
|                    | C1   | C2  | C3   | C4 |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Inputs             | 1000 | 0   | 1000 | 0  |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
|                    |      |     |      |    |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Objective Function |      |     |      |    |  | Total                                              |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Cost               | 7,1  | 8,5 | 7,7  | 9  |  | =SUMMENPRODUKT(B5:E5;B8:E8)                        |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
|                    |      |     |      |    |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Constraints        |      |     |      |    |  | LHS                                                |    | RHS  |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| C1 supply          | 1    |     |      |    |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B11:E11)                  | <= | 1000 |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| C2 supply          |      | 1   |      |    |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B12:E12)                  | <= | 1100 |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| C3 supply          |      |     | 1    |    |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B13:E13)                  | <= | 1200 |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| C4 supply          |      |     |      | 1  |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B14:E14)                  | <= | 1100 |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| R- Lub Index       | -5   | 15  | 5    | 30 |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B15:E15)                  | >= | 0    |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| R- Output          | 1    | 1   | 1    | 1  |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B16:E16)                  | =  | 2000 |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
|                    |      |     |      |    |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| Blending Data      |      |     |      |    |  |                                                    |    |      |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+
| R- Lub             | 20   | 40  | 30   | 55 |  | =SUMMENPRODUKT($B$5:$E$5;B19:E19)/SUMME($B$5:$E$5) | >= | 25   |
+--------------------+------+-----+------+----+--+----------------------------------------------------+----+------+  

朝着正确的方向轻推将是巨大的帮助。

Answer 1

我认为您希望您的目标是利润，我将其定义为销售价值的总和 - 成本的总和。

要包括所有混合物，请计算每种混合物的生产量、润滑油指数、成本和价值。对使用的库存量、生产量和润滑油指数应用约束，并针对利润进行优化。

我把模型放在一起如下...

1. A 到 D 列是您提供的信息。
2. G2:J5 中的 10 是每个混合中使用的库存量的种子值。 Solver 将操纵这些。
3. K 列包含生产的总产品量。根据您的调查 (a)、(b) 和 (c)，这些将受到不同方式的限制。填写的是=SUM(G3:J3)。
4. L 列是产品的润滑油指数。正如您所指出的，它是线性混合 - 对于混合问题，这通常不是真的。这些值将在 Solver 中受到约束。填写的是{=SUMPRODUCT(G3:J3,TRANSPOSE($B$2:$B$5))/$K3}。请注意，它是一个 Control-Shift-Enter (CSE) 公式，由于 TRANSPOSE 而需要。
5. M 列是用于创建产品的库存成本。这用于利润计算。是{=SUMPRODUCT(G3:J3,TRANSPOSE($C$2:$C$5))}，填写完毕。这也是一个 CSE 公式。
6. N 列是所生产产品的价值。这用于利润计算。填写的是=K3*C8。
7. 第 7 行是用于生成所有混合物的总库存量。这些值将在 Solver 中受到约束。它是=SUM(G3:G5)，填在右边。
8. 利润计算为=SUM(N3:N5)-SUM(M3:M5)。

下面是求解器对话框的快照...

它执行以下操作...

1. 目标是最大化利润。
2. 它将通过控制进入每种混合物的原料量来做到这一点。
3. 前四个约束 ($G$7 through $J$7) 确保不违反可用库存量。
4. 接下来的三个约束 ($K$3 through $K$5) 适用于案例 (a) - 生产的产品不得超过需求量。
5. 最后三个约束 ($L$3 through $L$5) 确保润滑油指数符合最低规格。
6. 未显示 - 我选择了 GRG 非线性选项并选择了“使用多重启动”并取消选择了“需要变量边界”。

下面是案例 (a) 的结果...

对于情况 (b)，将 K 列的约束更改为“=”而不是“

对于情况 (c)，将 K 列的约束更改为“>=”。下面是结果...

Answer 2

我想我想出了一个解决方案，但我不确定这是否正确。

| Decision Variables |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
|--------------------|---------|--------|--------|--------|-------------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|---|--------------------------------|----|------|
|                    | C1R     | C1M    | C1S    | C2R    | C2M         | C2S    | C3R    | C3M    | C3S    | C4R    | C4M    | C4S    |   |                                |    |      |
| Inputs             | 1000    | 0      | 0      | 800    | 0           | 300    | 0      | 1200   | 0      | 200    | 300    | 600    |   |                                |    |      |
|                    |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Objective Function |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   | Total Profit (Selling  - Cost) |    |      |
| Cost               | 7,10 €  | 7,10 € | 7,10 € | 8,50 € | 8,50 €      | 8,50 € | 7,70 € | 7,70 € | 7,70 € | 9,00 € | 9,00 € | 9,00 € |   | 3.910,00 €                     |    |      |
|                    |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Constraints        |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   | LHS                            |    | RHS  |
| Regular            | -5      |        |        | 15     |             |        | 5      |        |        | 30     |        |        |   | 13000                          | >= | 0    |
| Multi              |         | -15    |        |        | 5           |        |        | -5     |        |        | 20     |        |   | 0                              | >= | 0    |
| Supreme            |         |        | -30    |        |             | -10    |        |        | -20    |        |        | 5      |   | 0                              | >= | 0    |
| C1 Supply          | 1       | 1      | 1      |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   | 1000                           | <= | 1000 |
| C2 Supply          |         |        |        | 1      | 1           | 1      |        |        |        |        |        |        |   | 1100                           | <= | 1100 |
| C3 Supply          |         |        |        |        |             |        | 1      | 1      | 1      |        |        |        |   | 1200                           | <= | 1200 |
| C4 Supply          |         |        |        |        |             |        |        |        |        | 1      | 1      | 1      |   | 1100                           | <= | 1100 |
| Regular Demand     | 1       |        |        | 1      |             |        | 1      |        |        | 1      |        |        |   | 2000                           | >= | 2000 |
| Multi Demand       |         | 1      |        |        | 1           |        |        | 1      |        |        | 1      |        |   | 1500                           | >= | 1500 |
| Supreme Demand     |         |        | 1      |        |             | 1      |        |        | 1      |        |        | 1      |   | 900                            | >= | 750  |
|                    |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
|                    |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Selling            |         |        |        |        |             |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Regular            | 8,50 €  | x      | 2000   | =      | 17.000,00 € |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Multi              | 9,00 €  | x      | 1500   | =      | 13.500,00 € |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
| Supreme            | 10,00 € | x      | 900    | =      | 9.000,00 €  |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |
|                    |         |        |        |        | 39.500,00 € |        |        |        |        |        |        |        |   |                                |    |      |