在 R 中使用 lpSolve 最小化目标函数中的绝对值

Question

我想建立一个线性程序（如果可能，我不确定）来解决 R 中的这个问题：

我要最小化函数：
abs(x1) + abs(x2) + abs(x3) + abs(x4)

约束：
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
0.2x1 + 0.3x2 + 0.5x3 + 0.1x4 = 0.2

约束通常写成不等式，所以我假设我可以有两个方程，一个具有 = 0 和 >= 0.2。决策变量是连续的，可以是正的也可以是负的。

我可以为使用 lpSolve 的约束设置矩阵，但我最困惑的是如何在目标函数中实现绝对值函数。这个网站 (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm) 很好读，但我不知道如何将其转换为 R 中 lpSolve 的输入。任何帮助或指导将不胜感激！

Answer 1

我将回答这个问题，如何正确地使用绝对值对线性程序进行建模，以便任何 LP 求解器轻松求解。诀窍是为每个具有绝对值的变量引入两个辅助变量。例如：

引入变量 z(1,p) 和 z(1,n)，其中括号中的值是变量 z 的索引。 1 表示它对应于 x1，p 代表正数，n 代表负数。添加这些约束：

z(1,p) - z(1,n) = x1

z(1,p) >= 0

z(1,n) >= 0

看看这是怎么回事，当 x1 为正时，z(1,p) = x1 且 z(1,n) = 0。当 x1 为负时，-z(1,n) = x1 且 z( 1,p) = 0。因此很明显 abs(x1) = z(1,p) + z(1,n)。因此，您只需在目标函数中替换它并添加这些约束（对于每个索引 1、...、4）。