HackerRank 的“砖块游戏”答案

【问题标题】："Bricks Game" from HackerRankHackerRank 的“砖块游戏”
【发布时间】：2016-10-16 02:15:52
【问题描述】：

我一直在尝试解决来自 HackerRank 的动态编程部分的this 问题。我阅读了编辑解决方案并理解了它。但是，它直接跳转到动态编程方法。我想知道这个问题的蛮力方法是什么。

描述：您和您的朋友决定使用由 N 个积木组成的堆栈来玩游戏。在这个游戏中，您可以选择从顶部移除 1、2 或 3 块积木，然后将蚀刻在移除积木上的数字添加到您的分数中。你必须玩，以便获得最大可能的分数。假设您的朋友也将发挥最佳效果，而您迈出了第一步。

我最初的想法是枚举所有可能的 1,2,3 长度的砖块组合，从栈顶开始一直到栈底。让我们将此枚举称为 S。然后，在 S 中为所有 x（您的分数）和 y（对手的分数）找到所有可能的 (x,y)，其中 x != y。最后遍历所有这些对并计算您的最高分数（例如 x 的最大总和）。

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

好吧，这里动态规划只是一种避免多次计算相同子问题的方法（其他可能性是使用memoization）。

解决这类问题的一般思路如下：

让A 和B 成为玩家，A 先行动。此外，让f(n,p) 表示玩家p 的堆栈大小为n 的最大得分，即p 的堆栈大小为n。

思路很简单，A想最大化f(n,A)。请注意，A 从输入中给出的初始位置开始最多可以进行 3 次不同的移动：

拿 1 块砖
拿2块砖
拿 3 块砖

此外，如果A 得分X，那么B 得分S(n) - X，其中S(n) 是n 底砖得分的总和。

基于这些观察，我们可以这样写：

f(n,A) = max(S(n)-f(n-1,B), S(n)-f(n-2,B), S(n)-f(n-3,B)).

换句话说，他的最佳结果是这些可用动作中的最大值（请注意，如果筹码很小，可用的动作可能少于 3 个）。

现在，动态规划只是用来避免多次计算 f(n,p) 的相同值 - 如果你扩展 f(n,A) 的公式，你会发现当 n 增长时它们会越来越多地出现在那里.因此，为了优化解决方案，f 的已计算值存储在内存中，并在需要时以恒定时间返回。

【讨论】：

但是我们不想要中间状态的最高分。相反，我们希望得到最终的最高分。例如，考虑 arr = [0,1,2,1,999]，解决方案应该是 score(A) = 999 和 score(B) = 4，因为玩家 A 应该拿走第一块和最后一块砖。那么对于从1到4的每一个i，A的得分都小于B的得分。
@lenhhoxung 我给出的解决方案使最终得分最大化，看看f(n,A)的公式和定义
感谢您的回复。我是 DP 的新手，所以不确定我是否理解得很好。在这里，您定义了“让 f(n,p) 表示玩家 p 的最大分数，堆栈大小为 n”。那么玩家应该每一步都有最高分（即 n 变化）？还是我很困惑？

【解决方案2】：

看看Minimax algorithm。您通常会在其中构建一个完整的树，其中一个级别将为您生成所有可能的移动，下一个级别将为您的对手生成所有可能的移动，用于您在前一个级别生成的每个状态并继续。在每个级别中，您必须将可能的损失降到最低，以应对下一个级别的最坏情况。这里生成了所有可能的移动/分支，所以它几乎是蛮力的。

显然你可以在 Minimax 树上应用剪枝，但你应该先看看暴力法。

【讨论】：