加油站动态规划

Question

你和你的朋友正开车去提华纳过春假。您正在为旅行省钱，因此您希望将途中的汽油成本降至最低。为了尽量减少您和您的朋友的汽油成本，您和您的朋友整理了以下信息。首先，您的汽车可以在油箱上可靠地行驶 m 英里（但不能再进一步）。您的一个朋友从网上挖掘了加油站数据，并绘制了您路线上的每个加油站以及该加油站的汽油价格。具体来说，他们创建了从最近到最远的 n+1 个加油站价格列表以及两个相邻加油站之间的 n 个距离列表。 Tacoma 是 0 号加油站，Tijuana 是 n 号加油站。为方便起见，他们已将汽油成本转换为您汽车行驶的每英里价格。此外，还计算了两个相邻加油站之间的英里距离。您将以一箱油开始您的旅程，当您到达蒂华纳时，您将为回程加油。您需要确定在哪些加油站停留，以尽量减少旅途中的汽油费用。

示例输入：

价格（每英里美分） [12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21]

距离（英里） [31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15]

您的汽车一罐油可以行驶 170 英里。

我的输出：

旅行的最低费用为：117.35 美元

加油站停靠：[1, 6, 9, 13, 17, 19]

我已经解决了这个问题，但我不确定我是否以正确的方式解决了问题。如果错了，有人能给我一些建议或指出正确的方向吗？提前谢谢你。

public class GasStation {

/** An array of gas prices.*/
private int[] myPrice;
/** An array of distance between two adjacent gas station.*/
private int[] myDistance;
/** Car's tank capacity.*/
private int myCapacity;
/** List of gas stations to stop at to minimize the cost.*/
private List<Integer> myGasStations;


/**
 * A constructor that takes in a price list, distance list, and the car's tank capacity.
 * @param thePrice - price list
 * @param theDistance - distance list
 * @param theCapacity - the car's capacity
 */
public GasStation(final int[] thePrice, final int[] theDistance,
        final int theCapacity) {
    myPrice = thePrice;
    myDistance = theDistance;
    myCapacity = theCapacity;
    myGasStations = new ArrayList<>();
}


/**
 * Calculate for the minimum cost for your trip.
 * @return minimum cost
 */
public int calculateMinCost() {

    int lenP = myPrice.length;
    int lenD = myDistance.length;
    if (lenP == 0 || lenD == 0 || myCapacity == 0) return 0;

    // gas station -> another gas station (moves) 
    Map<Integer, Integer> gasD = new HashMap<>();
    int[] D = new int[lenD + 1];
    D[0] = 0;

    // calculate the total distance 
    for (int i = 0; i < lenD; i++) {
        D[i + 1] = D[i] + myDistance[i];
    }

    int len = D.length;
    for (int i = 1; i < len - 1; i++) {
        int j = len - 1;
        while (D[j] - D[i] >= myCapacity) {
            j--;
        }
        gasD.put(i, j - i);
    }

    int min = Integer.MAX_VALUE;

    for (int i = 1; i < len; i++) {
        int temp = 0;
        int cur = i;
        List<Integer> tempList = new ArrayList<>();
        if (D[i] <= myCapacity) {
            temp = D[cur] * myPrice[cur];
            tempList.add(cur);
            int next = gasD.get(cur) + cur;
            while (next < len) {
                temp += (D[next] - D[cur]) * myPrice[next];
                cur = next;
                tempList.add(cur);
                if (gasD.containsKey(cur)) next = gasD.get(cur) + cur;
                else break;
            }

            if (temp < min) {
                min = temp;
                myGasStations = tempList;
            }

        }
    }


    return min;
}

/**
 * Get gas stations to stop at.
 * @return a list of gas stations to stop at
 */
public List<Integer> getGasStations() {
    return myGasStations;
}

}

Answer 1

让station i 的最低充值成本记为cost[i]

给定问题陈述，如何表达这个成本？
我们知道，每次下一次充值都必须在距离上一次充值的170 miles 内完成，
所以最小成本可以表示为：

cost[i] = MIN { cost[j] + price[i] * distance_from_i_to_j } for every j such that distance(i,j) <= 170 mi

如果我们不考虑station 0 的全油箱成本，则使用基本情况cost[0] = 0，否则基本情况为cost[0]= 170 * price[0]

我会假设我们不考虑station 0 处的全部油箱成本，并且在最后一点（即station 19）不需要重新填充

通过查看上面定义的递归关系，我们很容易注意到同一个子问题被多次调用，这意味着我们可以利用动态规划解决方案来避免可能的指数运行时间。

还要注意，由于我们不需要在station 19 加油，我们应该只计算在1 到18 的加油站的加油成本，即cost[1], cost[2], .., cost[18]。这样做之后，问题的答案将是MIN { cost[14], cost[15], cost[16], cost[17], cost[18] }，因为距离station 19 170 英里范围内的唯一车站是14,15,16,17,18 车站，因此我们可以通过在这 5 个车站中的一个加油站到达19 车站。

在我们定义了上述与base case的递归关系后，我们可以通过以下方式将其转换为循环：

int price[] =  {12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21}; //total 20 stations

int distance[] = {31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15};  //total 19 distances      

int N=19;
int[] cost = new int[N];    
int[] parent = new int[N]; //for backtracking

cost[0] = 0; //base case (assume that we don't need to fill gas on station 0)

int i,j,dist;
int maxroad = 170;

for(i=0; i<N; i++) //initialize backtracking array
    parent[i] = -1;


for(i=1; i<=N-1; i++) //for every station from 1 to 18
{

        int priceval = price[i]; //get price of station i               
        int min = Integer.MAX_VALUE;                
        dist = 0;            

        for(j=i-1; j>=0; j--) //for every station j within 170 away from station i
        {   
            dist += distance[j]; //distance[j] is distance from station j to station j+1
            if(dist>maxroad)
               break;   

            if((cost[j] + priceval*dist)<min) //pick MIN value defined in recurrence relation                       
               {
                min = cost[j] + priceval*dist;
                parent[i] = j;
               }

        }

        cost[i] = min;              

}


//after all costs from cost[1] up to cost[18] are found, we pick
//minimum cost among the stations within 170 miles away from station 19
//and show the stations we stopped at by backtracking from end to start

int startback=N-1;
int answer=Integer.MAX_VALUE;
i=N-1;
dist=distance[i];
while(dist<=maxroad && i>=0)
{
   if(cost[i]<answer)
      {
       answer = cost[i];
       startback=i;
      }  
   i--;
   dist += distance[i];
}


System.out.println("minimal cost=" + answer + "\nbacktrack:");

i=startback;
while(i>-1) //backtrack
{
    System.out.println(i + " ");
    i = parent[i];
}