字母替换终止

Question

给定：

• 一个字符字符串S长度l只包含从'a'到'z'的字符
• 一组ordered 替换规则R（形式为X->Y）其中x、y 是来自'a' to 'z' 的单个字母（例如，'a' -> ' e' 可能是有效规则，但@ 987654332@ 永远不会是有效规则）

当R 中的规则r 应用于S 时，与规则r 的left side 相等的S 的所有字母都将替换为@987654339 中的字母@ of r，如果规则 r 导致 S 中的任何替换，则 r 称为 triggered rule。

流程图（算法）：
(1) 在S 上交替应用R 中的all 规则（按照R 中的规则顺序）。
(2) (there exists any 'triggered rule' DURING (1) ) : 重复 (1)
(3) 终止

问题是：有没有办法确定给定字符串 S 和设置 R，算法是否会终止（永远运行）

示例1：（手动执行）

S = 'abcdef' R = { 'a'->'b' , 'b' -> 'c' }
（顺序隐含每条规则从左到右出现的顺序）

在 S 和 R 上运行算法：
(1.1)：'abcdef' --> 'bbcdef' --> 'cccdef'
(2.1)：重复 (1)，因为在 (1.1) 期间有 2 个替换
(1.2)：'cccdef'
（2.2）：继续（3），因为在（1.2）期间没有替换
(3) : 终止算法
=> 算法以给定的 S 和 R 终止
例 2：

S = 'abcdef' R = { 'a'->'b' , 'b' -> 'a' }
（顺序隐含每条规则从左到右的出现顺序）

在 S 和 R 上运行算法：
(1.1)：'abcdef' --> 'bbcdef' --> 'abcdef'
(2.1)：重复 (1)，因为在 (1.1) 期间有 2 个替换
(1.2): 'abcdef --> 'bbcdef' --> 'abcdef'
(2.2)：重复 (1)，因为在 (1.2) 期间有 2 个替换
(1.3): ......那将永远是一样的 (1.1)......
永远不会到达步骤 (3)（终止）。
=> 算法不会以给定的 S 和 R 终止。

• 我对此进行了研究，但没有发现该问题的有效算法 “如果算法停止”。

• 我想到的第一个想法是"find cycle" 的字母 在triggered rules 但规则数量可能太大 这个想法是理想的。

• 第二个是提出一个"threshold"的时间 重复，如果超过阈值，我们结束算法 不会终止。

• "threshold" 可以随机选择，（只要大 够了）——这种方法并不是很有吸引力。

• 我在想，如果有任何upper bound "threshold" 确保我们总能得到正确的答案。 我想出了threshold = 26，其中 26 是 从“a”到“z”的字母 - 但我无法证明它是真的（或不是）。 （我希望它会类似于 Bellman-Ford 算法，它以固定的步数确定负循环，..）

• 你呢？请帮我找到答案（这不是 作业）

  感谢您的阅读。

Answer 1

解决这个问题的一个简单方法是考虑一个长度为 1 的字符串，看看问题是否可以针对任何给定的起始字母循环。由于字符串的长度永远不会改变，并且对 S 中的每个字符单独应用规则，因此只考虑长度为 1 的字符串就足够了。

现在，从包含 26 个状态的状态图开始 - 字母表中的每个字母 1 个。现在，对于您的状态转换，请考虑以下过程：

依次应用从 R 1 开始的转换，直到到达 R 的末尾。如果从特定状态（字母）开始，您永远不会到达新字母，您知道如果到达起始字母，你终止。否则，在应用 R 的 整个 序列后，你将得到一个新字母。这将是你的新状态。

请注意，所有状态转换都是确定性的，因为我们应用了整个 R 序列，而不仅仅是单个转换。如果我们应用单独的转换，我们可能会感到困惑，因为我们可能有 a -> b、b->a、a->c。在查看单个操作时，我们可能认为从 a 有两种可能的转换（到 b 或到 c），但实际上，考虑到整个序列，我们明确地看到 a 到 c 的转换。

在考虑每个起始字母的下一个状态后，您将完成创建状态图。以这种方式创建整个状态图需要 26 * |R|操作。如果状态图包含一个循环，那么如果字符串 S 包含循环中的任何一个字母，那么它就不会停止，否则就会停止。

或者，如果您只考虑在 R 的整个序列中进行 26 次迭代后停止，您也可以使用它。