乘以和添加不同的渐近符号答案

【问题标题】：Multiplying and adding different asymptotioc notations乘以和添加不同的渐近符号
【发布时间】：2011-10-11 22:15:34
【问题描述】：

有谁知道如何进行这样的计算示例：

O(n^2) + THETA(n) + OMEGA(n^3) = ?

或

O(n^2) * THETA(n) * OMEGA(n^3) = ?

一般来说，不同的渐近符号如何相加和相乘？

【问题讨论】：

嗨，斯拉沃什。你的问题很模糊。您能否更具体地说明一下： 1. 结果让您感兴趣； 2. 你的问题的领域（渐近符号在一般代数和计算机科学中有不同的假设。我假设你的意思是 CS，因为你不是写在 math.SE 上），3. 你喜欢执行的方程类型（总是用那些树的部分？有限数量的原子，或允许的 O() 的无限总和？等等...） 4. 确保我们，我们谈论实数？ 5. 你有兴趣实现的结果（O() ? Omega() ?) ?
这里是一个例子how O(n)+O(n) can be confusing。当我要求更多标准时，我的意思是，保持常数 O(n)+O(n)=O(n) 可能会导致某人进入归纳步骤 O(n)+O(n)+... = O(n ) , 怎么了。原因 (O(n))^n = O(n^n)。所以这里需要非常具体以避免混淆。

【解决方案1】：

O 给出一个上限；

Ω 给出了一个下限；

Θ 给出一个渐近界；

Wikipedia 有一个很好的图表来解释这些。

因此，总的来说，这些确实没有可比性。

对于您的第一个案例，

O(n^2) + Θ(n) + Ω(n^3)

让我们首先解决O。第一项告诉我们O(n^2)，第二项告诉我们O(n)。仅基于这两个，我们知道到目前为止我们有O(n^2) 的上限。然而，第三项没有告诉我们任何关于上限的信息！所以我们真的不能对O做出任何结论。

这里的重点是O 和Θ 只为您提供有关O 的信息，而Ω 和Θ 只为您提供有关Ω 的信息。这是因为Θ(g(n)) 暗示了O(g(n)) 和Ω(g(n))，因此我们可以将Θ 更改为O 和Ω 中适合给定分析的任何一个。

但是，这三者加在一起，或者只是 O 和 Ω，会让你一无所知，因为 O 和 Ω 都没有暗示对方的任何事情。

【讨论】：

【解决方案2】：

你不能。假设您知道a > 0 和b < 10。那么你没有关于a+b 的信息。可以是任何东西。

Big-O 和 Big-Omega 对函数的作用类似。

【讨论】：

【解决方案3】：

虽然我的上述答案对于一般函数和界限是正确的，但在计算机科学中，我们通常只考虑正函数。因此，在您的第一个示例中，我们有：

O(n^2) + Theta(n) + Omega(n^3) = Omega(1)+Theta(n)+Omega(n^3) = Omega(n^3)

这源于函数都是正数的假设。即所有函数都是Omega(1)。

【讨论】：