嵌套的 for 循环复杂度

Question

每个案例 (a-d) 的增长函数是什么？
我很难找到每个嵌套 for 循环的运行时间。我想我已经找到了一些，但我不确定。

a)

for(i = 1; i*i <= N; i = 2*i);

b)

for(i = 1; i <= N; i = 2*i);
    for(j = 1; j <= i; j = j+1);

c)

for(i = 1; i*i <= N; i=i+1);
    for(j=1; j <= i ; j=j+1);

d)

for(i = 1; i*i <= N; i=i+1)
    for(j = 1; j <= i ; j = 2*j);

Answer 1

这是我得到的：

增长：

1. O(log(sqrt(N)))
2. O(N)
3. O(N)
4. O(log(sqrt(N)!)) = O(sqrt(N)*log(sqrt(N))) 使用 Stirling's approximation

确切数字：（[X] 是 X 的整数部分）

1. [log([sqrt(N)])]+1
2. 2^([log(N)]+1)
3. [sqrt(N)]*[sqrt(N)+1]/2
4. 不太确定。

这里有一个小检查：我用计数器实现了 for 循环，这是 N=10000000 的输出：

a(N)= 12           a(10*N)= 14
b(N)= 16777216     b(10*N)= 134217728
c(N)= 5000703      c(10*N)= 50005000
d(N)= 33861        d(10*N)= 123631

编辑：根据要求，解释
首先，一些考虑：

• 我们正在处理整数，因此对于您看到的任何实际函数（基本上是sqrt 和log），您实际上应该采用整数部分。
• 在计算机科学领域几乎总是如此，log = log base 2

现在：

1. i 从 1 变为 sqrt(N)，但它只“使用”了 2 的幂。在 1 和 M 之间有 log(M)（实际上是 +1）2 的幂，所以使用 @ 987654338@你得到公式。

2. i 从 1 到 N 的幂是 2，和以前一样。每个i 都有i js。如果我们对每个 i 的 js 求和：
   1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^log(N) = 2N - 1 = O(N)

3. i 从 1 变为 sqrt(N)。对于每个i，都有i js。和之前一样，我们将每个 i 的 js 数量相加：
   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + sqrt(N) = sqrt(N) * sqrt(N+1) / 2 = O(N)

4. i 从 1 变为 sqrt(N)。对于每个 i，j 仅使用 2 的幂从 1 变为 i，因此对于每个 i，您都有 log(i) js。如果你为每一个 i 计算所有的 js：

   log(1) + log(2) + log(3) + log(4) + log(5) + ... + log(sqrt(N))
   对于对数的属性log(a) + log(b) = log(a*b)。将此应用于我们的总结：
   log(1*2*3*4*5*..*sqrt(N)) = log( sqrt(N)! )
   结果是什么。鉴于阶乘对于大数来说是个问题，您可以使用斯特林的近似值：ln(N!) -> N*log(N) - N 来处理大数。

使用整数部分的差异示例

考虑 2。log(N) 的整数部分保持不变，直到 N 加倍。这意味着，例如，对于 N=65536 和 N=131071，此 for 循环执行相同数量的操作 (131072)。当N 变为131072（仅多一个）时，操作数翻倍（262144）。

Answer 2

您可以使用 Sigma 表示法正式解决代码片段：

a)

b)

c)

d)