O(nk) 和 O(n+k) 的时间复杂度有什么区别？答案

【问题标题】：what is the difference between O(nk) and O(n+k) in time complexity?O(nk) 和 O(n+k) 的时间复杂度有什么区别？
【发布时间】：2014-12-04 18:28:03
【问题描述】：

在算法分析中时间复杂度的大 O 表示法中，当一个算法依赖于 n 和 k 时，这两种表示法有什么区别。如果有一个嵌套循环，外循环运行 n 次，内循环运行 k 次，还请帮助使用符号？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

O(nk)：

for( i=0; i<n; i++ ) {
   for( j=0; j<k; j++ )
   {}
}

O(n+k):

for( i=0; i<n; i++ )
{}

for( j=0; j<k; j++ )
{}

【讨论】：

【解决方案2】：

O(n+k) 表示 n 或 k 中较大者的线性增长率。假设 n 更大。那么

n + k <= n + n = 2n = O(n)

如果 n 更小，那么

n + k <= k + k = 2k = O(k).

无论 n 是否较大，这总是正确的

n + k = O(n+k)

所以这个符号有助于隐藏这种不确定性。这种双变量表示法对图算法很有用，使用 n 表示顶点数，使用 m 表示边数。您可以编写一个表达式 O(n + m)，以表明算法对于稀疏图 (m = Theta(n)) 为 O(n)，但对于更密集的图则较慢（例如 O(n^2) 如果m = Theta(n^2))。

对于第二个问题，这只是简单的算术。您在外循环的第一次迭代中迭代内循环 k 次，第二次迭代 k 次，依此类推，总共 k+k+...+k = n*k 个操作，即 O(nk)。

【讨论】：

n 和 k 中的较大者不是线性增长。它在 n 和 k 中都是线性增长的。如果 n 大于 k，但 k 变大，算法的运行时间仍然随 k 线性增长。
好吧，只要 k = O(n)，你可以完全忽略 k。只有当 k = omega(n) 时，O(n) 和 O(n+k) 才意味着不同的东西。
（不过，我正在考虑算法分析，其中 n 和 k 在它们描述特定算法的输入的意义上是“固定的”，并且 O(n+ k) 描述了算法在该大小的输入上的运行时间。我的解释可能在更纯粹的数学符号意义上不能很好地支持。）
@chepner-用其他不相关的参数来测量一个独立的参数是非常糟糕的主意——对于这样的问题，你不应该提及 n 和 k 之间的关系。不过，我同意在相关情况下您的描述仍然合适！

【解决方案3】：

O(nk) 表示它所花费的时间与n * k 成正比。 O(n+k) 表示所花费的时间与n + k 成正比。这正是它看起来的样子。您需要更具体地提出您不了解的问题。

在您的情况下，算法的运行时间为 O(nk)，因为内部循环总共运行了 n * k 次。

【讨论】：

【解决方案4】：

应该清楚这些是不同的，例如如果 n=k:

O(nk)=O(nn)=O(n^2)

O(n+k)=O(2n)=O(n)

【讨论】：

【解决方案5】：

说函数 f(n) 是 O(g(n)) 意味着存在一些常数 q 使得对于 n 不小于一，f(n) 将不大于 q g(n)。

相反，说函数 f(x,y) 是 O(g(x,y)) 意味着存在一些常数 q 使得对于所有值x 和 y 不小于 1，f(x,y) 将不大于 q g(x, y).

如果 k 是一个常数，那么上面的两个值都等价于 O(n)，因为对于 k 的任何值，并且对于任何不小于一的n，如果一设置q等于(k+1)，则两者都不nk em> 也不 n+k 将超过 qn [即(k+1)n] 对于任何不小于一的 n 值。

如果k和n都是完全独立的变量，那么O(nk)是不可约的； O(n+k) 将是 O(max(n,k))，因为如果设置 q 等于 2，则 q(max(n,k)) [即2max(n,k)] 对于所有不小于 1 的 n 和 k 值将大于或等于 n+k。

【讨论】：

在这种情况下，我不认为 k 被认为是一个常数。
即使在完全自变量的情况下，复杂度仍然是 O(n+k)。你的解释是错误的，在最后一段是荒谬的！它不会是 O(max(n+k))，因为两个不相关的变量无法比较最大值！！！
@shekharsuman：固定为 O(max(n,k))。为什么不能比较两个不相关的变量的最大值？函数 max(x,y) 在 x>=y 时等于 x，在 y>=x 时等于 y。
@supercat-只有当 x 和 y 有点相关时，我们才能找到最大值！请告诉我 [max(x^2,y^3)] 的最大值，因为 x 和 y 完全不相关！您可能已经知道为什么不能这样了！
对于 x 和 y 的值满足 x^2 >= y^3，所描述的函数的值是 x^2，对于满足 y^3 > x^2 的值，函数的值是 y^3 .在某些情况下，使用总和 x+y 可能更容易，但在其他情况下，可能更容易表明一个在所有感兴趣的场景中都会超过另一个 [在这种情况下，人们可能会忽略较低的值]。跨度>