求和中每个单独项的除法公式

Question

示例：

当整体应用除法时，结果是，

求和公式由下式给出，

使用求和规则可以在 O(1) 中轻松计算上述内容。

但是当它单独应用于每个术语时（在商中的小数点后截断）， =0+1+1+2+3+3+4+5=19。 [在C中使用普通int/int除法]

上述方法需要O(N)，因为无法应用求和规则。

我理解以上是由于除法应用于每个术语而不是最后一个术语时，精度损失更多。但这正是我所需要的。[在上面的例子中， 19 是必需的解决方案，而不是 21]

是否有一个公式可以作为将除法单独应用于每个术语的快捷方式，类似于求和？

Answer 1

所以，你得到：

0 + (1+1+2) + (3+3+4) + 5

让我们乘以 3：

0 + (3+3+6) + (9+9+12) + 15

并将其与 (1+...+15)/3 的分子进行比较：

1 + (3+5+7) + (9+11+13) + 15

您可以清楚地看到，您所求的总和平均每 3 项中的分子损失 3 项，或者平均每项损失 1 项。我们如何将术语分组为三元组并不重要：

(0+3+3) + (6+9+9) + 12+15
(1+3+5) + (7+9+11) + 13+15

甚至

0+3 + (3+6+9) + (9+12+15)
1+3 + (5+7+9) + (11+13+15)

所以你的 sum*3 比 (1+...+15)/3 的分子少大约项数。

分子可以使用等差数列之和的公式计算：n²，其中n是和中的项数：

1+3+5+7+9+11+13+15 = 2⁸ = 64

现在你从 64 中减去 8，得到 56，然后除以 3，得到 18.6(6)。该数字不等于 19，因为 n（术语数）不是 3 的倍数。

因此，最终公式不完全是 (n²-n)/3，但与正确公式的值最多相差 1。

其实是：

(n*n-n+1)/3 向下舍入或使用整数除法计算。

将我们得到的数字插入其中：

(8*8-8+1)/3 = 57/3 = 19

Answer 2

简短回答：是的，有这样一个公式。

长答案（我猜你想要公式）：

如何获得：您已经意识到求和公式与 int 除法之和之间的差异来自每个被加数的 int 除法的舍入。

用行制作一个表格：

第一行，每个加法的结果，当您以全精度除法时。

第二行，每个被加数的结果，当你执行整数除法时。

还有第三排，两者的区别。

现在你应该意识到这个模式，它总是 1/3、0、2/3。

这来自除以 3，如果你愿意，你可以证明它是正式的（例如归纳法）。

所以最后你的公式是：(n^2)/3 - (n/3)

n*n/3 是常规求和公式，对于所有完整的 3 个和数，我们减去 n/3。

Answer 3

结果是

1+1 + 2 + 3+3 + 4 + 5+5 + 6 + 7+7 + 8 + 9+9 + 10 + ...

换句话说，所有奇数出现两次，所有偶数出现一次。第一个n 自然数之和是n*(n+1)/2，所以第一个n 偶数自然数之和是它的两倍，而第一个n 奇数之和是n*n。

我认为您现在已经拥有了获得所需结果的所有部分......

Answer 4

为了增加ns，您需要的总和是： 1、2、4、7、10、14、19、24、30、36 ...

将这些插入The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™ (OEIS™)，您将获得A007980 作为符合您要求的系列。计算为a(n)=ceil((n+1)*(n+2)/3)。

这使得 a(0) = 1, a(1) = 2, a(6) = 19，意味着索引偏移 2：sum(1,8) = a(8-2)。

Answer 5

Σ((2i+1)/3) where i =0 to n-1 and Σ((2i+1)/3) = n*n/3

Answer 6

#include <stdio.h>

typedef struct fraction {
    int n;//numerator
    int d;//denominator
} Fraction;

int gcd(int x, int y){
    x = (x < 0)? -x : x;
    y = (y < 0)? -y : y;
    while(y){
        int wk;
        wk = x % y;
        x = y;
        y = wk;
    }

    return x;
}

Fraction rcd(Fraction x){
    int gcm;
    gcm = gcd(x.n, x.d);
    x.n /= gcm;
    x.d /= gcm;
    return x;
}

Fraction add(Fraction x, Fraction y){
    x.n = y.d*x.n + x.d*y.n;
    x.d = x.d*y.d;
    return rcd(x);
}

int main(void){
    Fraction sum = {0,1};
    int n;

    for(n=1;n<=8;++n){
        Fraction x = { 2*n-1, 3 };
        sum = add(sum, x);
    }
    printf("%d/%d=",sum.n,sum.d);
    printf("%d",sum.n/sum.d);

    return 0;
}