圆形图公共内部节点，在 NP

Question

我很难弄清楚这个问题。

问题是：我们有一个循环无向图G。我们从某个节点开始，然后在整个图中采用循环路径返回起始节点。我们想知道图中是否有一些k 节点列表必须始终用于图中的每条路径。问题差不多了，这些k节点存在吗？

我需要证明这个问题在NP中。但是，不太确定如何执行此操作。

为了证明它在 NP 中，我需要能够验证解决方案。但是，我什至不确定如何从问题本身入手，因为我以前从未见过类似的情况。有人可以提供一些建议吗？有谁知道可以帮助验证的等效问题？

例如，对于起始节点s，我们总是需要遍历b。所以设置k = {b}

输入：无向图 G = (V, E)，整数 k。 问题：是否存在一组由 k 个顶点组成的 S，使得图中的每个循环都至少包含一个 S的顶点？

验证者算法不能简单地取一组 k 个节点组成的 S，并枚举图中的每个循环，以检查它是否包含 S 中的至少一个顶点。图中可能有指数级的循环数，而验证者算法需要在多项式时间内运行。它需要比这更聪明。

Answer 1

要验证一个问题在NP（不是NPC），你需要得到问题的输入，以及一个多项式大小的验证输入——并使用它，确定答案是否是决策问题的原始输入在多项式时间内为真或假（这与使用非确定性图灵机的定义等效）。

• 在您的情况下，问题的输入是G=(V,E)，以及一些整数k。
• 验证字符串将是一组 S 与候选节点集。

现在，给定这些输入 - 首先检查 |S| = k，然后创建 G' = (V', E')，其中：

V' = V\S
E' = { (u,v) | (u,v) in E and u in V' and v in V' }

现在，对 V' 中的每个节点进行 DFS。 DFS 需要多项式时间，您需要执行多项式次数 - 所以仍然是多项式时间复杂度。您正在搜索 V' 中是否存在循环（到达您开始的同一节点）。

• 如果你找到了，那么问题的答案就是正确的（有这样一组大小k）。
• 否则为假（没有设置）。