j+=sqrt(i) 时的时间复杂度

Question

我需要找出这个函数的时间复杂度（以 theta 为单位）：

int x = 0; 
for (int i=1; i < n ; i++) { 
  for (double j=i; j <= n ; j+=sqrt(i)) { 
    ++x; 
  } 
}

我知道外循环进行 n-1 次迭代，而内循环进行 (n-i)/sqrt(i) 迭代，所以我需要计算 i=1 的 sigma 到 (n-i)/sqrt(i) 的 n-1 ）。知道该怎么做吗？

编辑： 假设 sqrt() 在 O(1) 中运行。

Answer 1

我不知道 sigma 和 theta 是什么意思，但是 sqrt 是一个常数时间运算，所以它在大 O 表示法中基本上没有关系，即 j+=sqrt(i);与 j+=i 相同；与 j+=1; 相同。另外 (n-k) ~= n 代表 k 远小于 n。这意味着随着 n 变大 n-i 就是 n。所以 (n-i) * sqrt() = n * 1 = n。你为外循环做了 n 次，所以 n^2。

补充： 至于你的复杂系列，我相信这是准确的，但这不是我们关心的，我们关心的是操作的顺序。所以我们需要证明你的系列是 O(n^2) 或 K*n^2。所以你有 i + 2*i + ... (n-1)*i + n*i。其中 i 是常数，因此我们可以将其分解并包含在 K 中，并留下 1 + ... + n。该语句由 n 主导，即当 n 变大时，n ~= (n-1) 和 (n-1) ~= (n-2)，这意味着 (n-2) ~= n。现在，当我们接近零时，这并不成立，但是 n 太大了，我们可以删除第一个说百万项。所以我们留下了一些看起来像的函数 C*(n-k)*n + c。其中 C、k 和 c 都是常数。由于我们不关心常量，我们只关心随着 n 的增长而增长，我们可以删除所有这些常量并只保存 n^2。或者，您可以证明您的系列以 n^k*n 为界，其中随着 n 接近无穷大，k 变为 1，但一个好的逻辑论证通常更好。 〜本