多项式的数组表示答案

【问题标题】：Array Representation of Polynomials多项式的数组表示
【发布时间】：2011-09-02 07:53:13
【问题描述】：

我正在阅读有关多项式的链表实现的信息。它表示，

Compare this representation with storing the same
polynomial using an array structure.
In the array we have to have keep a slot for each exponent
of x, thus if we have a polynomial of order 50 but containing
just 6 terms, then a large number of entries will be zero in
the array.

我想知道我们如何在数组中表示多项式？请指导我。

谢谢

【问题讨论】：

标签： arrays linked-list

【解决方案1】：

基于数组的多项式的完整 Java 实现在这里：https://cs.lmu.edu/~ray/classes/dsa/assignment/2/answers/

基本思想是，如果你有一个像这样的多项式

4x^6-2x+5

那么你的数组看起来像

   0     1    2    3    4    5    6
+----+-----+----+----+----+----+----+
| 5  |  -2 |  0 |  0 |  0 |  0 |  4 |
+----+-----+----+----+----+----+----+

那是

系数 5 在数组的槽 0 中（代表 5x^0）
系数 -2 在数组的槽 1 中（表示 -2x^1）
系数 4 在数组的插槽 6 中（表示 4x^6）

您可能会看到这种表示对于像这样的多项式是多么浪费

3x^5000 + 2

在这种情况下，您希望改为使用 稀疏数组 表示。最简单的方法是使用一个映射（字典），其键是指数，其值是系数。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设你的多项式是

6x^50 + 4x^2 + 2x + 1

您发布的段落描述了将其存储在这样的数组中：

polynomial = new array(50)  // I'm assuming all elements initialize to zero
polynomial[50] = 6
polynomial[2] = 4
polynomial[1] = 2
polynomial[0] = 1

基本上这样浪费了很多空间。这里的数组索引是 x 中多项式的 x 的“幂”。

【讨论】：

【解决方案3】：

通常每个指数都有一个元素，所以多项式实际上是：
poly[0]*x^0 + poly[1]*x^1 + ... + poly[n-1]*x^(n-1)

例如。如果你有p(x) = 3x^5+5x^2+1，你的数组将是：

poly[0] = 1
poly[1] = 0
poly[2] = 5
poly[3] = 0
poly[4] = 0
poly[5] = 3

【讨论】：

【解决方案4】：

如果你有类似的多项式函数

3x^4 + x^2 + 2x + 1 = 0

你可以在数组中表示它

[1 2 1 0 3]

所以，元素0是x^0的系数，元素1是x^1的系数……

【讨论】：

那么指数代表指数？这就是为什么我们需要表示所有项，即使它们不存在于多项式中的原因吗？
没错。我认为这是在数组中表示多项式的最直观的方式。 :) 在多项式中“不存在”意味着它的系数为 0。因此您必须将其存储在数组的相应槽中。
一般来说，您不必代表所有这些。如果多项式是稀疏的，请使用字典而不是数组。但是，您的问题询问如何使用数组。但是，根据定义，数组是连续的，所以如果你想要一个数组，你将需要零。