在 O(n log n) 中计算给定二叉树的每个子树中大于根的节点

Question

我们得到一个带有n节点的树，其形式是指向其根节点的指针，其中每个节点都包含一个指向其父节点、左子节点和右子节点的指针，以及一个整数键。对于每个节点v，我想添加附加字段v.bigger，其中应包含键大于v.key 的节点数，这些节点位于以v 为根的子树中。将这样的字段添加到树的所有节点总共需要 O(n log n) 时间。

我正在寻找任何可以让我解决此问题的提示。我尝试了几种启发式方法-例如，在考虑以自下而上的方式解决此问题时，对于固定节点 v、v.left 和 v.right 可以为 v 提供某种集合（平衡 BST？）操作bigger(x)，对于给定的x，它在对数时间内返回大于x 的元素数量。问题是，我们需要在O(log n) 中合并这些集合，所以这似乎是不可行的，因为我不知道任何支持快速合并的有序集合，如数据结构。

我还考虑了自上而下的方法 - 当且仅当 u 位于到根和 u<v 的简单路径上时，节点 v 为某些节点 u 添加一个 u.bigger。所以v 可以以某种方式更新所有这些u，但我想不出任何合理的方式来做到这一点......

那么，思考这个问题的正确方法是什么？

Answer 1

在给定的树中执行深度优先搜索（从根节点开始）。

当第一次访问任何节点（来自父节点）时，将其键添加到一些订单统计数据结构（OSDS）。同时向OSDS查询大于当前key的key个数，并用本次查询的否定结果初始化v.bigger。

当最后一次访问任何节点时（来自右子节点），查询 OSDS 中大于当前键的键的数量，并将结果添加到v.bigger。

您可以将此算法应用于任何有根树（不一定是二叉树）。而且它不一定需要父指针（您可以使用 DFS 堆栈代替）。

对于 OSDS，您可以使用增强型 BST 或 Fenwick 树。对于 Fenwick 树，您需要对给定的树进行预处理，以便压缩键的值：只需将所有键复制到一个数组中，对其进行排序，删除重复项，然后用该数组中的索引替换键。

Answer 2

基本思路：

使用自底向上的方法，每个节点都会从两个儿子那里得到两个子树中值的有序列表，然后找出其中有多少更大。完成后，向上传递组合有序列表。

详情：

1. 叶子：
   叶子显然有v.bigger=0。它们上面的节点创建一个包含两项的值列表，更新自身并将自己的值添加到列表中。
2. 所有其他节点：
   从儿子那里获取两个列表并以有序的方式合并它们。因为它们已经排序，所以这是O(number of nodes in subtree)。在合并期间，您还可以查看有多少节点符合条件并获取该节点的 v.bigger 值。

为什么是 O(n logn)？

树中的每个节点都通过其子树中的节点数来计数。这意味着根计算树中的所有节点，根的儿子每个计算（组合）树中的节点数（是的，是的，-1 用于根）等等相同高度的所有节点一起计算较低的节点数。这给我们计算的节点数是number of nodes * height of the tree - 这是O(n logn)

Answer 3

如果我们为每个节点保留一个单独的二叉搜索树 (BST)，它由以该节点为根的子树的节点组成。

对于k 级别的节点v，合并两个子树v.left 和v.right，这两个子树都具有O(n/2^(k+1)) 元素是O(n/2^k)。在为这个节点形成 BST 之后，我们可以通过计算 BST 的右（传统上）子树中的元素在O(n/2^(k+1)) 时间找到 v.bigger。总而言之，我们在级别 k 上对单个节点进行了 O(3*n/2^(k+1)) 操作。总共有2^k 多个 k 级节点，因此我们有O(2^k*3*n/2^(k+1))，它被简化为 O(n)（去掉 3/2 常数）。 k 级别的操作。有log(n) 个级别，因此我们总共有O(n*log(n)) 个操作。