Nurbs 曲线 (2D) 长度和线性采样答案

【问题标题】：Nurbs curve (2D) Length & Linear SamplingNurbs 曲线 (2D) 长度和线性采样
【发布时间】：2018-08-22 20:31:20
【问题描述】：

我有一条 Nurbs 曲线（Ctrl Points、Knot Vector、Weights & 3rd or 4th degree）。我可以通过使用参数 t [0, 1] 沿曲线采样来计算长度。计算沿曲线的距离之和可得出曲线的近似长度。

有没有更好的方法来计算曲线的长度？
线性采样：我想对曲线进行线性采样，使得第一个样本 t = t0 = 0 到 t = t1 之间的距离是 S1，而 t n-1 到 tn = 1 之间的最后一个样本是 S2 和所有介于两者之间的样本具有从 S1 到 S2 线性插值的长度。

S1 和 S2 是固定的。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

曲线长度遵循方程

ds / dt = √(x'²(t) + y'²(t))

其中s 是曲线横坐标，t 是曲线参数，导数取自t。

你愿意做的就是构造函数t(s) 并强加你的s 值。这可以通过编写微分方程来方便地完成

dt / ds = 1 / √(x'²(t) + y'²(t))

并以数字方式将其集成，例如使用 Runge-Kutta。

【讨论】：

【解决方案2】：

是的。像你一样进行采样，而不是对，通过点的三元组工作，将它们解释为弧通过这三个点。

在采样点间距相同的情况下，与直线段相比，您将获得更小的近似误差。

【讨论】：

【解决方案3】：

要计算参数化曲线的长度 c(u)=(x(u), y(u))，您可以使用通用公式。

你明确知道 x(u) 和 y(u) 因为

我相信你有有理基函数的导数公式。因此你有 x'(u) 和 y'(u)。然后，您可以使用辛普森规则进行积分，也可以使用高斯点专门对有理多项式进行积分，或者更好地使用您最喜欢的符号微积分工具（maple、wolfram 等）来精确计算积分。

【讨论】：