寻找名人组的线性算法，而不是单个名人

Question

假设我们有 N 个人，其中可能有一群名人。

每个人都认识每个名人，而每个名人都只认识其他名人。

如果给你know x y和returns true or false的功能，请识别名人组。

这个问题是识别一群名人，而不是识别人群中唯一的名人，比如http://www.geeksforgeeks.org/the-celebrity-problem/。

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使用蛮力很容易。我可以构建 N 个人所有可能的子序列并使用条件过滤它们（每个人都知道每个名人，每个名人只知道其他名人）。

我也知道必须只有一个名人团体或没有。

证明：

假设我们有两个名人组，C1 和 C2。因为每个人都知道 C1 中的 ci，所以每个 C2 中的 cj 也都知道 ci；对称地，每个 ci 都知道 cj；所以 C1 和 C2 实际上属于一个组。所以我们最多只有一个名人团体或没有。

对可能的线性算法有什么想法吗？

编辑

可能有一群名人，也可能没有。

Answer 1

是的，这在 O(N) 中是可能的（但请参阅下面的第二次编辑）。这是一种算法。

枚举从 0 到 N-1 的所有 N 个人。

int find_a_celebrity()
{
    int C = 0; // C is a potential celebrity
    for( int i=0 ; i<N ; ++i )
      if( !know(i,C) ) // C is not a celebrity nor are all j<i, but i might be.
        C = i; 
    for( int i=0 ; i<N ; ++i ) // Loop a second time to check everyone knows C.
      if( !know(i,C) ) return -1;
    return C;
}
int C = find_a_celebrity();

如果C==-1 则没有名人。否则集合{ y | know(C,y) } 是所有名人的集合。总之，这在所有 N 个人中最多需要 3 次迭代，所以这是及时发现的 O(N)。

编辑：

// Output the set of celebrities
if( C == -1 ) std::cout << "There are no celebrities.";
else for( int i=0 ; i<N ; ++i ) if( know(C,i) ) std::cout << i << ' ';
std::cout << std::endl;

编辑 2：

这个问题有两种解释：

1. 名人的定义是每个人都知道他们。受问题约束，所有名人只认识其他名人。
2. 名人的定义是人人皆知，名人只认识其他名人。

上述算法解决了案例 #1 的问题。这也适用于案例 #2，只要我们可以假设至少存在一个名人。否则，我们将不得不在最后验证潜在名人列表仅彼此认识，这需要 O(N*M) 时间，其中 M 是潜在名人的数量。

Answer 2

编辑：我没有仔细阅读问题陈述。您没有所有边的列表，我们假设我们无法在线性时间内生成它。

这里的关键是每个人都认识每个名人。将此问题表述为一个有向邻接图，其中 V 个顶点（名人）和 E 条边（关系）连接它们。

遍历列表 E 以计算每个人被认识的次数。名人已知V-1次；其他人都是非名人。运行时间应该是 O(E)。

Answer 3

成为名人是在不知不觉中被人熟知的状态。正常是在不被人知道的情况下知道的状态。因此，将每个人与他们旁边的人进行比较看起来像：

foreach person in persons
{
  knows = know(person, next_person)
  isknown = know(next_person, person)

  if knows and !isknown then normal
  if !knows and isknown then celeb
  if !knows and !isknown then normal
  if knows and isknown then friends.add(person)

  foreach friend in friends
  {
      alsoknows = know(person, friend)
      if !alsoknows then normal; break;
  }
}

Answer 4

考虑所有 N*(N-1) 个可能对 know(x,y) 的评估都为真的情况。在这种情况下，所有 N 个人都是名人。接下来，考虑除了一个对 know(x,y) 的 N*(N-1) 次评估之外的所有情况都为真的情况。根据this comment by the asker，我希望我们应该将这种情况解释为名人为零。为了区分这两种情况，您需要评估所有可能的 N*(N-1) 对。

Answer 5

让candidates 成为所有n 人员的列表。构建一个所有人的循环：

1 -> 2 -> ... -> n -> 1.

现在，一一检查knows k,k+1。如果比k = k+1 为真，然后继续。如果knows k,k+1 == False，那么k+1 不是名人，所以将他从candidates 中删除并改为检查k,k+2。

当我们在最后一个 size(candidates) 回合中没有删除任何人时，我们就完成了。

证明：

如果列表中有名人，则：

1. 他永远不会被删除
2. 一旦我们找到他，我们就会进一步找到最后一位名人
3. 算法将在“最后一个”之后删除所有非名人，直到我们找到另一个名人，然后我们回到 2。

最后我们会得到一个名人循环。

如果列表中没有名人，请关注@Matt 的回答。